《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

18. （17 分）已知函数 $ f(x) = 2\sin^{2}x + 2\cos^{2}(x - \frac{\pi}{6}) $，$ x \in \mathbf{R} $.
（1）求 $ f(x) $ 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若 $ f(x) $ 在区间 $ [-\frac{\pi}{6}, m] $ 上的最大值为 3，求 $ m $ 的最小值.

答案： 18.[解析]　本题考查三角函数的化简、周期、单调性、最值
(1)由已知，有f(x)=(1−cos2x)+[1+cos(2x−$\frac{π}{3}$)]=−cos2x+($\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x)+2=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x−$\frac{1}{2}$cos2x+2=sin(2x−$\frac{π}{6}$)+2，所以f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，由$\frac{π}{2}$ + 2kπ ≤ 2x - $\frac{π}{6}$ ≤ $\frac{3π}{2}$ + 2kπ，k∈Z，得$\frac{π}{3}$ + kπ ≤ x ≤ $\frac{5π}{6}$ + kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间是[$\frac{π}{3}$ + kπ,$\frac{5π}{6}$ + kπ]，k∈Z.
(2)由
(1)知f(x)=sin(2x−$\frac{π}{6}$)+2，因为x∈[−$\frac{π}{6}$，m]，所以2x−$\frac{π}{6}$∈[−$\frac{π}{2}$，2m−$\frac{π}{6}$].要使f(x)在区间[−$\frac{π}{6}$，m]上的最大值为3，即y=sin(2x−$\frac{π}{6}$)在区间[−$\frac{π}{6}$，m]上的最大值为1，则2m−$\frac{π}{6}$ ≥ $\frac{π}{2}$，即m ≥ $\frac{π}{3}$，所以m的最小值为$\frac{π}{3}$.

19. （17 分）设函数 $ f(x) = k · 2^{x} - 2^{-x} $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数.
（1）求 $ k $ 的值；
（2）若不等式 $ f(x) ＞ a · 2^{x} - 1 $ 有解，求实数 $ a $ 的取值范围；
（3）设 $ g(x) = 4^{x} + 4^{-x} - 4f(x) $，求 $ g(x) $ 在 $ [1, +\infty) $ 上的最小值，并指出取得最小值时的 $ x $ 的值.

答案： 19.[解析]　本题考查奇函数的性质、不等式有解的条件、换元法求二次函数的最值
(1)因为f(x)=k·2$^{x}$−2$^{-x}$是定义域为R的奇函数，所以f
(0)=0，所以k−1=0，解得k=1，所以f(x)=2$^{x}$−2$^{-x}$，当k=1时，f(−x)=2$^{-x}$−2$^{x}$=−f(x)，所以f(x)为奇函数.故k=1.
(2)因为f(x)＞a·2$^{x}$−1有解，所以a＜[−($\frac{1}{2^{x}}$)$^{2}$+$\frac{1}{2^{x}}$+1]有解，所以只需a＜[−($\frac{1}{2^{x}}$)$^{2}$+$\frac{1}{2^{x}}$+1]$_{max}$，因为−($\frac{1}{2^{x}}$)$^{2}$+$\frac{1}{2^{x}}$+1=−($\frac{1}{2^{x}}$−$\frac{1}{2}$)$^{2}$+$\frac{5}{4}$≤$\frac{5}{4}$(x = 1时，等号成立)，所以a＜$\frac{5}{4}$.所以实数a的取值范围是(−∞,$\frac{5}{4}$).
(3)因为g(x)=4$^{x}$+4$^{-x}$−4f(x)，所以g(x)=4$^{x}$+4$^{-x}$−4(2$^{x}$−2$^{-x}$)，令t=2$^{x}$−2$^{-x}$，则t²=4$^{x}$+4$^{-x}$−2，易得函数t=2$^{x}$−2$^{-x}$在[1,+∞)上单调递增，t≥$\frac{3}{2}$，则函数g(x)可化为h(t)=t²−4t+2，t≥$\frac{3}{2}$，由h(t)的图象开口向上，对称轴为直线t=2，且2＞$\frac{3}{2}$，得t=2时，h(t)取得最小值−2，此时2=2$^{x}$−2$^{-x}$，则x=log₂(1+$\sqrt{2}$)，所以g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，此时x=log₂(1+$\sqrt{2}$).