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2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版
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16. (15 分)已知 $ p:x^{2} - x - 2 \geq 0 $，$ q:x^{2} - (m + 2)x + 2m \lt 0 $.
(1) 当 $ p $ 为真命题时，求实数 $ x $ 的取值范围；
(2) 若 $ \neg p $ 是 $ q $ 成立的充分不必要条件，求实数 $ m $ 的取值范围.
(1) 当 $ p $ 为真命题时，求实数 $ x $ 的取值范围；
(2) 若 $ \neg p $ 是 $ q $ 成立的充分不必要条件，求实数 $ m $ 的取值范围.
答案：
16. [解析] 本题考查充分条件与必要条件的应用、一元二次不等式的解法
(1)由$x ^ { 2 } - x - 2 \geqslant 0$可得$x \geqslant 2$或$x \leqslant - 1$,所以当$p$为真命题时,实数$x$的取值范围为$( - \infty , - 1 ] \cup [ 2 ,$$+ \infty )$.
(2)由$p : x ^ { 2 } - x - 2 \geqslant 0$可得$\neg p : x ^ { 2 } - x - 2 ＜ 0$,即$\neg p : - 1 ＜ x ＜ 2$.由$x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + 2 m ＜ 0$可得$( x - 2 ) ( x - m ) ＜ 0$,当$m ＜ 2$时,由$( x - 2 ) ( x - m ) ＜ 0$可得$m ＜ x ＜ 2$;当$m = 2$时,由$( x - 2 ) ( x - m ) ＜ 0$可得$x \in \varnothing$;当$m ＞ 2$时,由$( x - 2 ) ( x - m ) ＜ 0$可得$2 ＜ x ＜ m$.因为$\neg p$是$q$成立的充分不必要条件,所以$m ＜ - 1$.综上,实数$m$的取值范围是$( - \infty , - 1 )$.
(1)由$x ^ { 2 } - x - 2 \geqslant 0$可得$x \geqslant 2$或$x \leqslant - 1$,所以当$p$为真命题时,实数$x$的取值范围为$( - \infty , - 1 ] \cup [ 2 ,$$+ \infty )$.
(2)由$p : x ^ { 2 } - x - 2 \geqslant 0$可得$\neg p : x ^ { 2 } - x - 2 ＜ 0$,即$\neg p : - 1 ＜ x ＜ 2$.由$x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + 2 m ＜ 0$可得$( x - 2 ) ( x - m ) ＜ 0$,当$m ＜ 2$时,由$( x - 2 ) ( x - m ) ＜ 0$可得$m ＜ x ＜ 2$;当$m = 2$时,由$( x - 2 ) ( x - m ) ＜ 0$可得$x \in \varnothing$;当$m ＞ 2$时,由$( x - 2 ) ( x - m ) ＜ 0$可得$2 ＜ x ＜ m$.因为$\neg p$是$q$成立的充分不必要条件,所以$m ＜ - 1$.综上,实数$m$的取值范围是$( - \infty , - 1 )$.
17. (15 分)已知函数 $ f(x) = 3ax^{2} - 2x + a - 1 $，方程 $ f(x) = 0 $ 有两个不同的实数根 $ x_{1},x_{2} $.
(1) 求实数 $ a $ 的取值范围；
(2) 小明同学在探究“若 $ x_{1},x_{2} $ 仅有一个在区间 $ (0,1) $ 内，求实数 $ a $ 的取值范围”这一问题时，经过分类讨论后认为实数 $ a $ 只需要满足：$ f(0)f(1) \lt 0 $，他得出的答案为 $ \frac{3}{4} \lt a \lt 1 $. 老师批改后给出的评语：此类情况虽然满足题意，但分类讨论不够完整. 请你补充小明同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数 $ a $ 的取值范围.
(1) 求实数 $ a $ 的取值范围；
(2) 小明同学在探究“若 $ x_{1},x_{2} $ 仅有一个在区间 $ (0,1) $ 内，求实数 $ a $ 的取值范围”这一问题时，经过分类讨论后认为实数 $ a $ 只需要满足：$ f(0)f(1) \lt 0 $，他得出的答案为 $ \frac{3}{4} \lt a \lt 1 $. 老师批改后给出的评语：此类情况虽然满足题意，但分类讨论不够完整. 请你补充小明同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数 $ a $ 的取值范围.
答案：
17. [解析] 本题考查一元二次方程与二次函数的综合应用
(1)$f ( x ) = 3 a x ^ { 2 } - 2 x + a - 1 , f ( x ) = 0$有两个不同的实数根,则$\begin{cases} a \neq 0 , \\ \Delta = 4 - 1 2 a ( a - 1 ) ＞ 0 , \end{cases}$解得$a \in ( \frac { 3 - \sqrt { 2 1 } } { 6 } , 0 ) \cup ( 0 , \frac { 3 + \sqrt { 2 1 } } { 6 } )$.
(2)遗漏的情况为$f ( 0 ) = 0$或$f ( 1 ) = 0$的情况.当$f ( 0 ) = 0$时,$a - 1 = 0$,即$a = 1$,此时$f ( x ) = 3 x ^ { 2 } -$$2 x$,方程$f ( x ) = 0$的实数根为$x = 0$或$x = \frac { 2 } { 3 }$,满足条件;当$f ( 1 ) = 0$时,$3 a - 2 + a - 1 = 0$,即$a = \frac { 3 } { 4 }$,此时$f ( x ) = \frac { 9 } { 4 } x ^ { 2 } - 2 x - \frac { 1 } { 4 }$,方程$f ( x ) = 0$的实数根为$x = 1$或$x = - \frac { 1 } { 9 }$,不满足条件;当$f ( 0 ) f ( 1 ) \neq 0$时,$f ( 0 ) f ( 1 ) ＜ 0$,即$( 3 a - 2 + a -$$1 ) ( a - 1 ) ＜ 0$,解得$\frac { 3 } { 4 } ＜ a ＜ 1$.综上所述,实数$a$的取值范围为$( \frac { 3 } { 4 } , 1 ]$.
(1)$f ( x ) = 3 a x ^ { 2 } - 2 x + a - 1 , f ( x ) = 0$有两个不同的实数根,则$\begin{cases} a \neq 0 , \\ \Delta = 4 - 1 2 a ( a - 1 ) ＞ 0 , \end{cases}$解得$a \in ( \frac { 3 - \sqrt { 2 1 } } { 6 } , 0 ) \cup ( 0 , \frac { 3 + \sqrt { 2 1 } } { 6 } )$.
(2)遗漏的情况为$f ( 0 ) = 0$或$f ( 1 ) = 0$的情况.当$f ( 0 ) = 0$时,$a - 1 = 0$,即$a = 1$,此时$f ( x ) = 3 x ^ { 2 } -$$2 x$,方程$f ( x ) = 0$的实数根为$x = 0$或$x = \frac { 2 } { 3 }$,满足条件;当$f ( 1 ) = 0$时,$3 a - 2 + a - 1 = 0$,即$a = \frac { 3 } { 4 }$,此时$f ( x ) = \frac { 9 } { 4 } x ^ { 2 } - 2 x - \frac { 1 } { 4 }$,方程$f ( x ) = 0$的实数根为$x = 1$或$x = - \frac { 1 } { 9 }$,不满足条件;当$f ( 0 ) f ( 1 ) \neq 0$时,$f ( 0 ) f ( 1 ) ＜ 0$,即$( 3 a - 2 + a -$$1 ) ( a - 1 ) ＜ 0$,解得$\frac { 3 } { 4 } ＜ a ＜ 1$.综上所述,实数$a$的取值范围为$( \frac { 3 } { 4 } , 1 ]$.
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