《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

18. (17 分) 定义：对于函数 $ f _ { 1 } ( x ) $，$ f _ { 2 } ( x ) $，$ h ( x ) $，如果存在实数 $ a $，$ b $，使得 $ a f _ { 1 } ( x ) + b f _ { 2 } ( x ) = h ( x ) $，那么称 $ h ( x ) $ 为 $ f _ { 1 } ( x ) $ 和 $ f _ { 2 } ( x ) $ 的生成函数.
（1）给出函数 $ f _ { 1 } ( x ) = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 15 } { 4 } $，$ f _ { 2 } ( x ) = x ^ { 2 } - 4 x - 5 $，$ h ( x ) = x ^ { 2 } - 10 x + 5 $，请判断 $ h ( x ) $ 是否为 $ f _ { 1 } ( x ) $ 和 $ f _ { 2 } ( x ) $ 的生成函数，并说明理由.
（2）设 $ f _ { 1 } ( x ) = x $（$ x ＞ 0 $），$ f _ { 2 } ( x ) = \frac { 1 } { x } $（$ x ＞ 0 $），当 $ a = 2 $，$ b = 8 $ 时，$ f _ { 1 } ( x ) $ 和 $ f _ { 2 } ( x ) $ 的生成函数为 $ h ( x ) $. 对于任意正实数 $ x _ { 1 }, x _ { 2 } $ 且 $ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 $，是否存在实数 $ m $，使得 $ h ( x _ { 1 } ) h ( x _ { 2 } ) \geq m $ 恒成立？ 若存在，求出 $ m $ 的最大值；若不存在，请说明理由.

答案： 18.[解析] 本题考查函数新定义及不等式恒成立问题。
(1)是。假设存在a,b使得af₁(x)+bf₂(x)=h(x)，则：-$\frac{a}{4}$x² - $\frac{a}{2}$x + $\frac{15a}{4}$ + bx² - 4bx - 5b = x² - 10x + 5。整理得($-\frac{a}{4}$ + b)x² + ($-\frac{a}{2}$ - 4b)x + ($\frac{15a}{4}$ - 5b)=x² - 10x + 5。列方程组$\begin{cases}-\frac{a}{4} + b = 1\\-\frac{a}{2} - 4b = -10\frac{15a}{4} - 5b = 5\end{cases}$，解得a=4,b=2，存在，故h(x)是生成函数。
(2)存在。h(x)=2x + $\frac{8}{x}$（x＞0）。设x₁ + x₂=2，t=x₁x₂≤1（t∈(0,1]）。h(x₁)h(x₂)=4x₁x₂ + $\frac{64}{x₁x₂}$ + 16($\frac{x₁}{x₂}$ + $\frac{x₂}{x₁}$)=4t + $\frac{64}{t}$ + 16($\frac{4}{t}$ - 2)=4t + $\frac{128}{t}$ - 32，在(0,1]上递减，最小值为4 + 128 - 32=100，故m≤100，m的最大值为100。

19. (17 分) 已知 $ f ( x ) = x ( | x - 4 a | + 2 ) $，$ a \in \mathbf { R } $.
（1）若 $ f ( 1 ) = 3 $，判断 $ f ( x ) $ 的奇偶性；
（2）若 $ f ( x ) $ 在 $ [ 1,3 ] $ 上的最小值是 3，求正数 $ a $ 的值.

答案： 19.[解析] 本题考查函数奇偶性与最值。
(1)f
(1)=|1 - 4a| + 2=3⇒|1 - 4a|=1⇒a=0或a=$\frac{1}{2}$。当a=0时，f(x)=x|x| + 2x，f(-x)=-x|x| - 2x=-f(x)，奇函数；当a=$\frac{1}{2}$时，f(x)=x|x - 2| + 2x，f(-1)=-5，f
(1)=3，非奇非偶。综上，a=０时为奇函数，a=$\frac{1}{2}$时非奇非偶。
(2)a＞0，f(x)=$\begin{cases}x² - (4a - 2)x, x＞4a\\-x² + (4a + 2)x, x≤4a\end{cases}$。因f(x)在[1,3]最小值为3，f
(1)=|1 - 4a| + 2≥3⇒a≥$\frac{1}{2}$。当a=$\frac{1}{2}$时，4a=2，f(x)=$\begin{cases}x², x＞2\\-x² + 4x, x≤2\end{cases}$，在[1,3]上，[1,2]递增，[2,3]递增（f
(2)=4），最小值f
(1)=3，符合；当a＞$\frac{1}{2}$时，4a＞2，f(x)在[1,2a + 1]递增，[2a + 1,4a]递减，[4a,+∞)递增，因1＜2a + 1，f
(1)=4a + 1＞3，最小值不可能为3，故a=$\frac{1}{2}$。