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2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
9. 下列说法正确的是（
A.一组数据2，3，$x$，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3
B.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2
D.若样本数据$x_1$，$x_2$，$·s$，$x_{10}$的标准差为6，则数据$2x_1 - 1$，$2x_2 - 1$，$·s$，$2x_{10} - 1$的标准差为11
AC
）A.一组数据2，3，$x$，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3
B.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2
D.若样本数据$x_1$，$x_2$，$·s$，$x_{10}$的标准差为6，则数据$2x_1 - 1$，$2x_2 - 1$，$·s$，$2x_{10} - 1$的标准差为11
答案：
9.AC 本题考查统计数据的计算、概率 对于A,由$\frac{2 + 3 + x + 5 + 7}{5}$ = 4,可得x = 3,显然这组数据的众数是3,A正确;
对于B,将数据从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,因为10×70% = 7,所以第70百分位数是$\frac{23 + 24}{2}$ = 23.5,B错误;
对于C,由题设,简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率P = $\frac{10}{50}$ = 0.2,C正确;
对于D,由样本数据x₁,x₂,⋯,x₁₀的标准差为6,即方差为36,得数据2x₁ - 1,2x₂ - 1,⋯,2x₁₀ - 1的方差为4×36 = 144,故标准差为12,D错误.故选AC.
对于B,将数据从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,因为10×70% = 7,所以第70百分位数是$\frac{23 + 24}{2}$ = 23.5,B错误;
对于C,由题设,简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率P = $\frac{10}{50}$ = 0.2,C正确;
对于D,由样本数据x₁,x₂,⋯,x₁₀的标准差为6,即方差为36,得数据2x₁ - 1,2x₂ - 1,⋯,2x₁₀ - 1的方差为4×36 = 144,故标准差为12,D错误.故选AC.
10. 下列命题正确的是（ ）
A.若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则存在唯一的实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$
B.“$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$”是“$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$”的必要不充分条件
C.已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为平面内两个不共线的向量，则$\{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},-\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\}$可作为平面的一个基底
D.若点$G$为△ABC的重心，则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}$
A.若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则存在唯一的实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$
B.“$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$”是“$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$”的必要不充分条件
C.已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为平面内两个不共线的向量，则$\{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},-\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}\}$可作为平面的一个基底
D.若点$G$为△ABC的重心，则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}$
答案：
10.BCD 本题考查平面向量基本定理、向量共线定理
对于A,若a,b为零向量,则λ不唯一,A错误;
对于B,若非零向量a = -b,则|a| = |b|,则推不出a = b,故充分性不成立,若a = b,则必有|a| = |b|,故必要性成立,故“|a| = |b|”是“a = b”的必要不充分条件,B正确;
对于C,由a,b为平面内两个不共线的向量,若a + b = λ(-a + 3b),λ∈R,则λ无解,所以a + b,-a + 3b也不共线,故{a + b,-a + 3b}可作为平面的一个基底,C正确;
对于D,如图所示,四边形BGCD为平行四边形,AD过BC的中点,G为△ABC的重心,则$\overrightarrow{GC}$ + $\overrightarrow{GB}$ = $\overrightarrow{GD}$,且$\overrightarrow{GD}$ = -$\overrightarrow{GA}$,故$\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ + $\overrightarrow{GC}$ = 0,D正确.故选BCD.
10.BCD 本题考查平面向量基本定理、向量共线定理
对于A,若a,b为零向量,则λ不唯一,A错误;
对于B,若非零向量a = -b,则|a| = |b|,则推不出a = b,故充分性不成立,若a = b,则必有|a| = |b|,故必要性成立,故“|a| = |b|”是“a = b”的必要不充分条件,B正确;
对于C,由a,b为平面内两个不共线的向量,若a + b = λ(-a + 3b),λ∈R,则λ无解,所以a + b,-a + 3b也不共线,故{a + b,-a + 3b}可作为平面的一个基底,C正确;
对于D,如图所示,四边形BGCD为平行四边形,AD过BC的中点,G为△ABC的重心,则$\overrightarrow{GC}$ + $\overrightarrow{GB}$ = $\overrightarrow{GD}$,且$\overrightarrow{GD}$ = -$\overrightarrow{GA}$,故$\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ + $\overrightarrow{GC}$ = 0,D正确.故选BCD.
11. 已知定义域为$\mathbf{R}$的函数$f(x)$满足$f(-x - 2)+f(x + 2)=0$，当$x＞0$时，$f(x)=\begin{cases}5x^2 - 4x + 1,0 ＜ x\leqslant1,\\\log_{\frac{1}{4}}(\frac{x}{2}-\frac{7}{16}),x＞1,\end{cases}$则下列说法正确的是（ ）
A.函数$f(x)$在$[-\frac{2}{5},\frac{2}{5}]$上单调递减
B.若在区间$(0,p)$上$f(x)＜1$恒成立，则$p\in(0,\frac{4}{5}]$
C.对任意实数$k$，方程$f(x) - kx = 0$至多有6个解
D.若方程$f(x)=m(m＞0)$有4个解，分别为$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$，则$x_1 + x_2 + x_3 + x_4＞-\frac{67}{10}$
A.函数$f(x)$在$[-\frac{2}{5},\frac{2}{5}]$上单调递减
B.若在区间$(0,p)$上$f(x)＜1$恒成立，则$p\in(0,\frac{4}{5}]$
C.对任意实数$k$，方程$f(x) - kx = 0$至多有6个解
D.若方程$f(x)=m(m＞0)$有4个解，分别为$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$，则$x_1 + x_2 + x_3 + x_4＞-\frac{67}{10}$
答案：
11.BD本题考查分段函数的图象及函数性质的综合运用 因为定义域为R的函数f(x)满足f(-x - 2) + f(x + 2) = 0,即f(-(x + 2)) = -f(x + 2),所以函数f(x)为奇函数,f
(0) = 0.作出函数f(x)的大致图象,如图所示.
对于A,由图可知,f(x)在(-$\frac{2}{5}$,0)和(0,$\frac{2}{5}$)上分别单调递减,故A错误;
对于B,若在区间(0,p)上f(x)＜1恒成立,由图可知,0＜p＜1,令5x² - 4x + 1 = 1,解得x = 0或x = $\frac{4}{5}$,所以0＜p≤$\frac{4}{5}$,故B正确;
对于C,令k = $\frac{3}{2}$,作出直线y = $\frac{3}{2}$x,如图所示,当x∈(0,1)时,联立方程$\begin{cases}y = \frac{3}{2}x\\y = 5x² - 4x + 1\end{cases}$,并整理得10x² - 11x + 2 = 0,设函数h(x) = 10x² - 11x + 2,
$\begin{cases}\Delta = (-11)² - 4×10×2 = 41＞0\\h(0) = 2＞0\\h(1) = 1＞0\end{cases}$,且函数h(x)图象的对称轴为直线x = $\frac{11}{20}$,所以方程10x² - 11x + 2 = 0在(0,1)上有两个不相等的实数根,所以直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象在(0,1)上有2个交点.
设m(x) = $\frac{3}{2}$x - log₁/₄($\frac{x}{2}$ - $\frac{7}{16}$),x∈(1,+∞),则函数m(x)在(1,+∞)上单调递增,因为$\frac{3}{2}$×1 - log₁/₄($\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{16}$) = $\frac{3}{2}$ - 2 = -$\frac{1}{2}$＜0,m
(2) = 3 - log₁/₄$\frac{9}{16}$ = log₁/₄$\frac{1}{64}$ - log₁/₄$\frac{36}{64}$ = log₁/₄$\frac{1}{36}$ = log₁/₄36＞0,所以函数m(x)在(1,+∞)上只有一个零点,所以直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象在(1,+∞)上有1个交点,所以当x∈(0,+∞)时,直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象有3个交点,因为函数y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)均为奇函数,所以当x∈(-∞,0)时,直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象有3个交点,又当x = 0时,直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象有1个交点,所以直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象有7个交点,故C错误;
对于D,当m＞0时,方程f(x) = m有4个解x₁,x₂,x₃,x₄,不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄,根据图象可得x₁＜ - 1,0＜x₂＜$\frac{2}{5}$,$\frac{2}{5}$＜x₃＜1,x₄＞1,因为f(x) = m(m＞0)有4个解,f($\frac{2}{5}$) = $\frac{1}{5}$,所以$\frac{1}{5}$＜m＜1,所以$\frac{1}{5}$＜log₁/₄($\frac{x₄}{2}$ - $\frac{7}{16}$)＜1,解得$\frac{11}{8}$＜x₄＜2×($\frac{1}{4}$)^$\frac{1}{5}$ + $\frac{7}{8}$.
因为函数y = f(x)为奇函数,且当x＞1时,f(x) = log₁/₄($\frac{x}{2}$ - $\frac{7}{16}$),所以当x＜ - 1,即 - x＞1时,f(x) = -f(-x) = -log₁/₄(-$\frac{x}{2}$ - $\frac{7}{16}$),所以log₁/₄($\frac{x₄}{2}$ - $\frac{7}{16}$) = -log₁/₄(-$\frac{x₁}{2}$ - $\frac{7}{16}$),则($\frac{x₄}{2}$ - $\frac{7}{16}$)( - $\frac{x₁}{2}$ - $\frac{7}{16}$) = 1,得x₁ = $\frac{-32}{8x₄ - 7}$ - $\frac{7}{8}$,所以x₁ + x₄ = $\frac{-32}{8x₄ - 7}$ - $\frac{7}{8}$ + x₄ = $\frac{8x₄ - 7}{8}$ - $\frac{32}{8x₄ - 7}$,4＜8x₄ - 7＜16×($\frac{1}{4}$)^$\frac{1}{5}$,设8x₄ - 7 = t,则4＜t＜16×($\frac{1}{4}$)^$\frac{1}{5}$,因为函数y = $\frac{t}{8}$ - $\frac{32}{t}$在(4,16×($\frac{1}{4}$)^$\frac{1}{5}$)上单调递增,所以x₁ + x₄ = $\frac{t}{8}$ - $\frac{32}{t}$＞$\frac{4}{8}$ - $\frac{32}{4}$ = -$\frac{15}{2}$,又易得5x² - 4x + 1 = m的解x₂,x₃满足x₂ + x₃ = $\frac{4}{5}$,所以x₁ + x₂ + x₃ + x₄＞ - $\frac{15}{2}$ + $\frac{4}{5}$ = -$\frac{67}{10}$,故D正确.故选BD.
11.BD本题考查分段函数的图象及函数性质的综合运用 因为定义域为R的函数f(x)满足f(-x - 2) + f(x + 2) = 0,即f(-(x + 2)) = -f(x + 2),所以函数f(x)为奇函数,f
(0) = 0.作出函数f(x)的大致图象,如图所示.
对于A,由图可知,f(x)在(-$\frac{2}{5}$,0)和(0,$\frac{2}{5}$)上分别单调递减,故A错误;
对于B,若在区间(0,p)上f(x)＜1恒成立,由图可知,0＜p＜1,令5x² - 4x + 1 = 1,解得x = 0或x = $\frac{4}{5}$,所以0＜p≤$\frac{4}{5}$,故B正确;
对于C,令k = $\frac{3}{2}$,作出直线y = $\frac{3}{2}$x,如图所示,当x∈(0,1)时,联立方程$\begin{cases}y = \frac{3}{2}x\\y = 5x² - 4x + 1\end{cases}$,并整理得10x² - 11x + 2 = 0,设函数h(x) = 10x² - 11x + 2,
$\begin{cases}\Delta = (-11)² - 4×10×2 = 41＞0\\h(0) = 2＞0\\h(1) = 1＞0\end{cases}$,且函数h(x)图象的对称轴为直线x = $\frac{11}{20}$,所以方程10x² - 11x + 2 = 0在(0,1)上有两个不相等的实数根,所以直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象在(0,1)上有2个交点.
设m(x) = $\frac{3}{2}$x - log₁/₄($\frac{x}{2}$ - $\frac{7}{16}$),x∈(1,+∞),则函数m(x)在(1,+∞)上单调递增,因为$\frac{3}{2}$×1 - log₁/₄($\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{16}$) = $\frac{3}{2}$ - 2 = -$\frac{1}{2}$＜0,m
(2) = 3 - log₁/₄$\frac{9}{16}$ = log₁/₄$\frac{1}{64}$ - log₁/₄$\frac{36}{64}$ = log₁/₄$\frac{1}{36}$ = log₁/₄36＞0,所以函数m(x)在(1,+∞)上只有一个零点,所以直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象在(1,+∞)上有1个交点,所以当x∈(0,+∞)时,直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象有3个交点,因为函数y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)均为奇函数,所以当x∈(-∞,0)时,直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象有3个交点,又当x = 0时,直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象有1个交点,所以直线y = $\frac{3}{2}$x与函数f(x)的图象有7个交点,故C错误;
对于D,当m＞0时,方程f(x) = m有4个解x₁,x₂,x₃,x₄,不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄,根据图象可得x₁＜ - 1,0＜x₂＜$\frac{2}{5}$,$\frac{2}{5}$＜x₃＜1,x₄＞1,因为f(x) = m(m＞0)有4个解,f($\frac{2}{5}$) = $\frac{1}{5}$,所以$\frac{1}{5}$＜m＜1,所以$\frac{1}{5}$＜log₁/₄($\frac{x₄}{2}$ - $\frac{7}{16}$)＜1,解得$\frac{11}{8}$＜x₄＜2×($\frac{1}{4}$)^$\frac{1}{5}$ + $\frac{7}{8}$.
因为函数y = f(x)为奇函数,且当x＞1时,f(x) = log₁/₄($\frac{x}{2}$ - $\frac{7}{16}$),所以当x＜ - 1,即 - x＞1时,f(x) = -f(-x) = -log₁/₄(-$\frac{x}{2}$ - $\frac{7}{16}$),所以log₁/₄($\frac{x₄}{2}$ - $\frac{7}{16}$) = -log₁/₄(-$\frac{x₁}{2}$ - $\frac{7}{16}$),则($\frac{x₄}{2}$ - $\frac{7}{16}$)( - $\frac{x₁}{2}$ - $\frac{7}{16}$) = 1,得x₁ = $\frac{-32}{8x₄ - 7}$ - $\frac{7}{8}$,所以x₁ + x₄ = $\frac{-32}{8x₄ - 7}$ - $\frac{7}{8}$ + x₄ = $\frac{8x₄ - 7}{8}$ - $\frac{32}{8x₄ - 7}$,4＜8x₄ - 7＜16×($\frac{1}{4}$)^$\frac{1}{5}$,设8x₄ - 7 = t,则4＜t＜16×($\frac{1}{4}$)^$\frac{1}{5}$,因为函数y = $\frac{t}{8}$ - $\frac{32}{t}$在(4,16×($\frac{1}{4}$)^$\frac{1}{5}$)上单调递增,所以x₁ + x₄ = $\frac{t}{8}$ - $\frac{32}{t}$＞$\frac{4}{8}$ - $\frac{32}{4}$ = -$\frac{15}{2}$,又易得5x² - 4x + 1 = m的解x₂,x₃满足x₂ + x₃ = $\frac{4}{5}$,所以x₁ + x₂ + x₃ + x₄＞ - $\frac{15}{2}$ + $\frac{4}{5}$ = -$\frac{67}{10}$,故D正确.故选BD.
12. 如图，$J_A$，$J_B$两个开关串联再与开关$J_C$并联，在某段时间内$J_A$，$J_B$每个开关能够闭合的概率都是0.5，$J_C$能够闭合的概率为0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率为
0.775
.
答案：
12.0.775 [解析] 本题考查独立事件与对立事件的概率 由题意,开关Jₐ,J_B在某段时间均正常工作的概率P₁ = 0.5×0.5 = 0.25,开关J_C在某段时间正常工作的概率P₂ = 0.7,故这段时间内线路正常工作的概率P = 1 - (1 - P₁)(1 - P₂) = 1 - 0.75×0.3 = 0.775.
13. 在四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$，点$P$是四边形$ABCD$所在平面上一点，满足$\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{PA}+7\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+8\overrightarrow{PD}=\boldsymbol{0}$.设$s$，$t$分别为四边形$ABCD$与△PAB的面积，则$\frac{t}{s}=$
$\frac{5}{27}$
.
答案：
13.$\frac{5}{27}$ [解析] 本题考查平面向量与平面几何的综合运用 由题意,$\overrightarrow{AB}$ + 2$\overrightarrow{PA}$ + 7$\overrightarrow{PB}$ + $\overrightarrow{PC}$ + 8$\overrightarrow{PD}$ = $\overrightarrow{0}$,所以$\overrightarrow{PA}$ + $\overrightarrow{PC}$ + 8$\overrightarrow{PB}$ + 8$\overrightarrow{PD}$ = $\overrightarrow{0}$,设E,F分别为BD,AC的中点,连接PE,PF(图略),则2$\overrightarrow{PF}$ + 16$\overrightarrow{PE}$ = $\overrightarrow{0}$,即$\overrightarrow{PF}$ = -8$\overrightarrow{PE}$,即$\overrightarrow{PE}$ = -$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{EF}$.因为$\overrightarrow{BC}$ = 2$\overrightarrow{AD}$,所以AD//EF//BC,易得$\overrightarrow{EF}$ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow{BC}$ - $\overrightarrow{AD}$),所以$\overrightarrow{EF}$ = $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$ = $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$,所以$\overrightarrow{PE}$ = -$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{AD}$ = -$\frac{1}{36}$$\overrightarrow{BC}$,设四边形ABCD的高为h,则S_四边形ABCD = $\frac{1}{2}$h(AD + BC) = $\frac{3}{2}$h·AD,S_△PAB = $\frac{1}{2}$h($\overrightarrow{PE}$ + $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$) = $\frac{5}{18}$h·AD,所以$\frac{t}{s}$ = $\frac{\frac{5}{18}h·AD}{\frac{3}{2}h·AD}$ = $\frac{5}{27}$.
14. 已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^2 + 2x,x\geqslant0,\\-\ln(x + 1),x ＜ 0,\end{cases}$关于$x$的方程$[f(x)]^2 - 2af(x)+a - 1 = 0(a\in\mathbf{R})$有四个相异的实数根，则$a$的取值范围是________.
答案：
14.(-∞,0)∪(1,+∞) [解析] 本题考查函数与方程的综合问题
思路探寻
分析函数f(x)的性质并作出图象→令f(x) = t,把问题转化为关于t的方程t² - 2at + a - 1 = 0有两个不等实根的问题→确定根的取值情况,结合一元二次方程根的分布求解.
由题意得,函数f(x)的定义域为(-1,+∞),当x＜0时,函数f(x) = -ln(x + 1)在(-1,0)上单调递减,当x≥0时,函数f(x) = -x² + 2x在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,在平面直角坐标系内作出函数f(x)的大致图象,如图所示.
令f(x) = t,则关于x的方程[f(x)]² - 2af(x) + a - 1 = 0(a∈R)有四个相异的实数根,即关于t的方程t² - 2at + a - 1 = 0有两个不等实根t₁,t₂(t₁＜t₂),且函数y = f(x)的图象与直线y = t₁,直线y = t₂一共有四个交点,易知Δ = 4a² - 4(a - 1)＞0恒成立,由数形结合可知,$\begin{cases}t₁＜0\\0＜t₂＜1\end{cases}$或$\begin{cases}t₁ = 0\\t₂ = 1\end{cases}$或$\begin{cases}0＜t₁＜1\\t₂＞1\end{cases}$,令g(t) = t² - 2at + a - 1,由$\begin{cases}t₁＜0\\0＜t₂＜1\end{cases}$得$\begin{cases}g(0) = a - 1＜0\\g(1) = -a＞0\end{cases}$,解得a＜0;由$\begin{cases}t₁ = 0\\t₂ = 1\end{cases}$得$\begin{cases}g(0) = a - 1 = 0\\g(1) = -a = 0\end{cases}$,无解;由$\begin{cases}0＜t₁＜1\\t₂＞1\end{cases}$得$\begin{cases}g(0) = a - 1＞0\\g(1) = -a＜0\end{cases}$,解得a＞1.综上,a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
14.(-∞,0)∪(1,+∞) [解析] 本题考查函数与方程的综合问题
思路探寻
分析函数f(x)的性质并作出图象→令f(x) = t,把问题转化为关于t的方程t² - 2at + a - 1 = 0有两个不等实根的问题→确定根的取值情况,结合一元二次方程根的分布求解.
由题意得,函数f(x)的定义域为(-1,+∞),当x＜0时,函数f(x) = -ln(x + 1)在(-1,0)上单调递减,当x≥0时,函数f(x) = -x² + 2x在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,在平面直角坐标系内作出函数f(x)的大致图象,如图所示.
令f(x) = t,则关于x的方程[f(x)]² - 2af(x) + a - 1 = 0(a∈R)有四个相异的实数根,即关于t的方程t² - 2at + a - 1 = 0有两个不等实根t₁,t₂(t₁＜t₂),且函数y = f(x)的图象与直线y = t₁,直线y = t₂一共有四个交点,易知Δ = 4a² - 4(a - 1)＞0恒成立,由数形结合可知,$\begin{cases}t₁＜0\\0＜t₂＜1\end{cases}$或$\begin{cases}t₁ = 0\\t₂ = 1\end{cases}$或$\begin{cases}0＜t₁＜1\\t₂＞1\end{cases}$,令g(t) = t² - 2at + a - 1,由$\begin{cases}t₁＜0\\0＜t₂＜1\end{cases}$得$\begin{cases}g(0) = a - 1＜0\\g(1) = -a＞0\end{cases}$,解得a＜0;由$\begin{cases}t₁ = 0\\t₂ = 1\end{cases}$得$\begin{cases}g(0) = a - 1 = 0\\g(1) = -a = 0\end{cases}$,无解;由$\begin{cases}0＜t₁＜1\\t₂＞1\end{cases}$得$\begin{cases}g(0) = a - 1＞0\\g(1) = -a＜0\end{cases}$,解得a＞1.综上,a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
15. (13分)已知$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$是平面内两个不共线的非零向量，$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{BE}=-\boldsymbol{e}_1+\lambda\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{EC}=-2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2$，且$A$，$E$，$C$三点共线.
(1)求实数$\lambda$的值；
(2)若$\boldsymbol{e}_1=(2,1)$，$\boldsymbol{e}_2=(2,-2)$，求$\overrightarrow{BC}$的坐标；
(3)已知$D(3,5)$，在(2)的条件下，若$A$，$B$，$C$，$D$四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点$A$的坐标.
(1)求实数$\lambda$的值；
(2)若$\boldsymbol{e}_1=(2,1)$，$\boldsymbol{e}_2=(2,-2)$，求$\overrightarrow{BC}$的坐标；
(3)已知$D(3,5)$，在(2)的条件下，若$A$，$B$，$C$，$D$四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点$A$的坐标.
答案：
15.[解析] 本题考查平面向量的共线定理及基本运算
(1)由题意,$\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BE}$ = (2$\overrightarrow{e₁}$ + $\overrightarrow{e₂}$) + (-$\overrightarrow{e₁}$ + λ$\overrightarrow{e₂}$) = $\overrightarrow{e₁}$ + (1 + λ)$\overrightarrow{e₂}$.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得$\overrightarrow{AE}$ = k$\overrightarrow{EC}$,即$\overrightarrow{e₁}$ + (1 + λ)$\overrightarrow{e₂}$ = k(-2$\overrightarrow{e₁}$ + $\overrightarrow{e₂}$),得(1 + 2k)$\overrightarrow{e₁}$ = (k - 1 - λ)$\overrightarrow{e₂}$.因为$\overrightarrow{e₁}$,$\overrightarrow{e₂}$是平面内两个不共线的非零向量,所以$\begin{cases}1 + 2k = 0\\k - 1 - λ = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\λ = -\frac{3}{2}\end{cases}$,故实数λ的值为 -$\frac{3}{2}$.
(2)由
(1)知λ = -$\frac{3}{2}$,则$\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{BE}$ + $\overrightarrow{EC}$ = -$\overrightarrow{e₁}$ - $\frac{3}{2}$$\overrightarrow{e₂}$ - 2$\overrightarrow{e₁}$ + $\overrightarrow{e₂}$ = -3$\overrightarrow{e₁}$ - $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{e₂}$ = (-6,-3) + (-1,1) = (-7,-2).故$\overrightarrow{BC}$的坐标为(-7,-2).
(3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,所以$\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{BC}$.设A(x,y),则$\overrightarrow{AD}$ = (3 - x,5 - y),因为$\overrightarrow{BC}$ = (-7,-2),所以$\begin{cases}3 - x = -7\\5 - y = -2\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 10\\y = 7\end{cases}$,故点A的坐标为(10,7).
(1)由题意,$\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BE}$ = (2$\overrightarrow{e₁}$ + $\overrightarrow{e₂}$) + (-$\overrightarrow{e₁}$ + λ$\overrightarrow{e₂}$) = $\overrightarrow{e₁}$ + (1 + λ)$\overrightarrow{e₂}$.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得$\overrightarrow{AE}$ = k$\overrightarrow{EC}$,即$\overrightarrow{e₁}$ + (1 + λ)$\overrightarrow{e₂}$ = k(-2$\overrightarrow{e₁}$ + $\overrightarrow{e₂}$),得(1 + 2k)$\overrightarrow{e₁}$ = (k - 1 - λ)$\overrightarrow{e₂}$.因为$\overrightarrow{e₁}$,$\overrightarrow{e₂}$是平面内两个不共线的非零向量,所以$\begin{cases}1 + 2k = 0\\k - 1 - λ = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\λ = -\frac{3}{2}\end{cases}$,故实数λ的值为 -$\frac{3}{2}$.
(2)由
(1)知λ = -$\frac{3}{2}$,则$\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{BE}$ + $\overrightarrow{EC}$ = -$\overrightarrow{e₁}$ - $\frac{3}{2}$$\overrightarrow{e₂}$ - 2$\overrightarrow{e₁}$ + $\overrightarrow{e₂}$ = -3$\overrightarrow{e₁}$ - $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{e₂}$ = (-6,-3) + (-1,1) = (-7,-2).故$\overrightarrow{BC}$的坐标为(-7,-2).
(3)因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,所以$\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{BC}$.设A(x,y),则$\overrightarrow{AD}$ = (3 - x,5 - y),因为$\overrightarrow{BC}$ = (-7,-2),所以$\begin{cases}3 - x = -7\\5 - y = -2\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 10\\y = 7\end{cases}$,故点A的坐标为(10,7).
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