《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

9. 下列函数中是奇函数且在 $ x \in ( 0, 1 ) $ 上单调递增的是（BCD）
A.$ f ( x ) = x + \frac { 1 } { x } $
B.$ f ( x ) = x - \frac { 1 } { x } $
C.$ f ( x ) = | x + 1 | - | x - 1 | $
D.$ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { x + 1, x ＞ 0, } \\ { x - 1, x ＜ 0 } \end{array} \right. $

答案： 9.BCD 本题考查函数的单调性和奇偶性 对于A，$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且$f(-x)=-x - \frac{1}{x} = -f(x)$，所以$f(x)$是奇函数，由对勾函数的性质知其在$(0,1)$上单调递减，A不符合题意；对于B，$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且$f(-x)=-x + \frac{1}{x} = -f(x)$，所以$f(x)$是奇函数，易知$y = x$是$\mathbf{R}$上的增函数，$y = \frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递减，因此$f(x)=x - \frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递增，B符合题意；对于C，$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=|-x + 1| - |-x - 1| = |x - 1| - |x + 1| = -f(x)$，所以$f(x)$是奇函数，当$x\in(0,1)$时，$f(x)=x + 1 - (1 - x)=2x$，是增函数，C符合题意；对于D，$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，当$x \gt 0$时，$f(x)=x + 1$是增函数，又当$x \gt 0$时，$-x \lt 0$，$f(-x)=-x - 1 = -f(x)$，当$x \lt 0$时，$-x \gt 0$，$f(-x)=-x + 1 = -(x - 1)=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数，D符合题意.故选BCD.

10. 下列命题中正确的是（AD）
A.已知集合 $ M, P $ 满足命题“$ \forall x _ { 1 } \in M, \exists x _ { 2 } \in P, x _ { 1 } - x _ { 2 } = 0 $”为真命题，则 $ M \subseteq P $
B.已知集合 $ M, P $ 满足命题“$ \forall x _ { 1 } \in M, \exists x _ { 2 } \in P, x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } = 0 $”为真命题，则 $ M \subseteq P $
C.已知集合 $ M $ 满足命题“$ \exists x \in M, x ^ { 2 } - x ＜ 2 $”为真命题，则 $ M \subseteq \{ x | - 1 ＜ x ＜ 2 \} $
D.已知集合 $ M $ 满足命题“$ \exists x \in M, | x - 1 | \geq 1 $”为假命题，则 $ M \subseteq \{ x | 0 ＜ x ＜ 2 \} $

答案： 10.AD 本题考查命题的真假与集合的综合问题 对于A，“$\forall x_1 \in M$，$\exists x_2 \in P$，$x_1 - x_2 = 0$”为真命题，即$\forall x_1 \in M$，$\exists x_2 \in P$，$x_2 = x_1$，则$M \subseteq P$，A正确.对于B，“$\forall x_1 \in M$，$\exists x_2 \in P$，$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2)=0$”为真命题，即$\forall x_1 \in M$，$\exists x_2 \in P$，$x_2 = x_1$或$x_2 = -x_1$，所以$M$，$P$不一定有包含关系，B不正确.对于C，$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \lt 0 \Rightarrow -1 \lt x \lt 2$，“$\exists x \in M$，$x^2 - x \lt 2$”为真命题，则$M = \mathbf{R}$符合，C不正确.对于D，“$\exists x \in M$，$|x - 1| \geq 1$”为假命题，则“$\forall x \in M$，$|x - 1| \lt 1$”为真命题，所以$-1 \lt x - 1 \lt 1 \Rightarrow 0 \lt x \lt 2$，所以$M \subseteq \{x\mid 0 \lt x \lt 2\}$，D正确.故选AD.

11. 如果对任意一个三角形，只要它的三边长 $ a, b, c $ 都在函数 $ f ( x ) $ 的定义域内，就有 $ f ( a ), f ( b ), f ( c ) $ 也是某个三角形的三边长，则称 $ f ( x ) $ 为“三角形型函数”。则下列函数中为“三角形型函数”的是（ABD）
A.$ f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } x, x \in ( 0, + \infty ) $
B.$ f ( x ) = x ^ { \frac { 1 } { 2 } }, x \in ( 0, + \infty ) $
C.$ f ( x ) = 2 ^ { x }, x \in ( 0, + \infty ) $
D.$ f ( x ) = x + \frac { 1 } { x + 1 }, x \in ( 0, + \infty ) $

答案： 11.ABD 本题考查新定义、函数的性质 根据题意，不妨设$0 \lt a \leq b \leq c$，且$a + b \gt c$.
对于A，易知$f(x)=\frac{1}{2}x$在$(0,+\infty)$上单调递增，因此$f(a)+f(b)=\frac{a + b}{2} \gt \frac{c}{2}=f(c)$，故$f(a)$，$f(b)$，$f(c)$也是某个三角形的三边长，故A正确；对于B，易知$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，因此$f(a)+f(b)=\sqrt{a} + \sqrt{b}$，$f(c)=\sqrt{c}$，因为$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \gt c$，所以$f(a)+f(b) \gt f(c)$，故$f(a)$，$f(b)$，$f(c)$也是某个三角形的三边长，故B正确；对于C，当$a = b = 2$，$c = 3$时，$f(a)+f(b)=8 = f(c)$，因此不满足题意，故C不正确；对于D，因为$0 \lt a \leq b \leq c$，所以$0 \lt a + 1 \leq b + 1 \leq c + 1$，所以$\frac{1}{a + 1} \geq \frac{1}{b + 1} \geq \frac{1}{c + 1}$，所以$f(a)+f(b)=a + b + \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} \gt c + \frac{1}{c + 1} = f(c)$，所以$f(a)$，$f(b)$，$f(c)$也是某个三角形的三边长，故D正确.故选ABD.

12. 设函数 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { \sqrt { 1 - x }, x ＜ 0, } \\ { x ^ { 2 }, x \geq 0, } \end{array} \right. $ 则使得 $ f ( a ) = 1 $ 的 $ a $ 的值为1。

答案： 12.1 [解析] 本题考查分段函数求值 当$a \lt 0$时，$f(a)=\sqrt{1 - a} = 1$，无解；当$a \geq 0$时，$f(a)=a^2 = 1$，解得$a = 1$.故$a$的值为$1$.

13. 函数 $ f ( x ) = \sqrt { \frac { a x - 1 } { 2 x + a } } $ 的定义域为 $ A $，若 $ 3 \in A $，则 $ a $ 的取值范围是$(-\infty,-6)\cup[\frac{1}{3},+\infty)$。

答案： 13.$(-\infty,-6)\cup[\frac{1}{3},+\infty)$ [解析] 本题考查含根式的分式函数的定义域 因为$3\in A$，所以$\frac{3a - 1}{6 + a} \geq 0$，即$\begin{cases} (3a - 1)(6 + a) \geq 0, \\ 6 + a \neq 0, \end{cases}$解得$a \lt -6$或$a \geq \frac{1}{3}$.所以$a$的取值范围是$(-\infty,-6)\cup[\frac{1}{3},+\infty)$.

14. 已知 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { 2 ^ { x } - a, x ＜ 0, } \\ { | x - a | - 1, x \geq 0. } \end{array} \right. $
（1）若 $ a = 1 $，则 $ f ( x ) $ 的最小值为$-1$；
（2）若存在两个不同的实数 $ x _ { 1 }, x _ { 2 } $，使得 $ f ( x _ { 1 } ) = f ( x _ { 2 } ) = 0 $，则实数 $ a $ 的取值范围是$(0,+\infty)$。

答案： 14.
(1)$-1$
(2)$(0,+\infty)$ [解析] 本题考查分段函数的最小值、已知函数零点求参数范围
(1)若$a = 1$，则$f(x)=\begin{cases} 2^x - 1, & x \lt 0, \\ |x - 1| - 1, & x \geq 0. \end{cases}$当$x \lt 0$时，$2^x \in(0,1)$，$2^x - 1 \in(-1,0)$；当$x \geq 0$时，$x - 1 \geq -1$，$|x - 1| \geq 0$，$|x - 1| - 1 \geq -1$.所以$f(x)$的最小值为$-1$.
(2)当$x \lt 0$时，$0 \lt 2^x \lt 1$，$-a \lt 2^x - a \lt 1 - a$；当$x \geq 0$时，令$f(x)=0$，即$|x - a| - 1 = 0$，解得$x = a + 1$或$x = a - 1$.当$a \leq 0$时，$2^x - a \gt 0$，而$x = a - 1 \lt 0$，$f(x)$至多只有$1$个零点，不符合题意；当$0 \lt a \lt 1$时，若$x\in(-\infty,0)$，$f(x)=0 \Rightarrow 2^x - a = 0 \Rightarrow x = \log_2 a \in(-\infty,0)$，$x = a - 1 \lt 0$，$x = a + 1 \in(1,2)$，符合题意；当$a = 1$时，$2^x - 1 \in(-1,0)$，$f(0)=0$，$f(2)=0$，符合题意；当$a \gt 1$时，$2^x - a \lt 1 - a \lt 0$，$x = a - 1 \gt 0$，$x = a + 1 \gt 2$，符合题意.综上所述，$a$的取值范围是$(0,+\infty)$.
方法点拨
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.
2.分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题.
3.数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用图象有交点求解.

15. （13 分）从偶函数的定义出发，证明函数 $ y = f ( x ) $ 是偶函数的充要条件是它的图象关于 $ y $ 轴对称。

答案： 15.[解析] 本题考查函数为偶函数和函数图象的关系
证明：不妨设$f(x)$的定义域为$D$.
先证必要性：若函数$y = f(x)$是偶函数，则它的图象关于$y$轴对称.
因为$f(x)$是偶函数，所以$D$关于原点对称，且$f(x)=f(-x)$对任意的$x\in D$恒成立，任取$f(x)$图象上的一点$(x,f(x))$，因为$f(x)=f(-x)$，所以点$(-x,f(x))$也在$f(x)$的图象上，又因为$x$具有任意性，所以对函数$f(x)$图象上的任意一点，其关于$y$轴对称的点也一定在$f(x)$的图象上，即$f(x)$的图象关于$y$轴对称，得证.
再证充分性：若$f(x)$的图象关于$y$轴对称，则$f(x)$是偶函数.
因为$f(x)$的图象关于$y$轴对称，所以$D$关于原点对称，且对图象上的任意一点$(x,f(x))$，其关于$y$轴对称的点$(-x,f(x))$一定也在$f(x)$的图象上.故点$(-x,f(x))$满足$f(x)$的解析式，即$f(-x)=f(x)$，又因为$x$具有任意性，所以$f(-x)=f(x)$对任意的$x\in D$恒成立，即$f(x)$是偶函数，得证.
综上所述，函数$y = f(x)$是偶函数的充要条件是它的图象关于$y$轴对称.