《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

16. (15 分) 计算：
(1) $ \left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } · \frac { \sqrt { ( 4 a b ^ { - 1 } ) ^ { 3 } } } { ( 0. 1 ) ^ { - 1 } · ( a ^ { 3 } · b ^ { - 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } $；
(2) $ \log _ { \sqrt { 3 } } 9 + \frac { 1 } { 2 } \lg 25 + \lg 2 - \log _ { 4 } 9 × \log _ { 3 } 8 + 2 ^ { \log _ { 2 } 3 } + \ln \sqrt { \mathrm { e } } $.

答案： 16.[解析] 本题考查对数的运算性质、有理数指数幂及根式的计算
(1)$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}·\frac{\sqrt{(4ab^{-1})^3}}{(0.1)^{-1}·(a^3· b^{-3})^{\frac{1}{2}}}=4^{\frac{1}{2}}·\frac{(4ab^{-1})^{\frac{3}{2}}}{10· a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}=2·\frac{8a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{10· a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}=\frac{8}{5}$.
(2)$log_{\sqrt{3}}9 + \frac{1}{2}lg25 + lg2 - log_49× log_38 + 2^{log_23} + ln\sqrt{e}=log_{\frac{1}{3}}3^2 + lg5 + lg2 - log_23^2× log_32^3 + 2^{log_23} + lne^{\frac{1}{2}}=4log_33 + lg10 - 3log_23× log_32 + 3 + \frac{1}{2}=\frac{11}{2}$.

17. (15 分) 已知函数 $ f ( x ) = \log _ { 4 } ( 4 ^ { x } + 1 ) + k x ( x \in \mathbf { R } ) $ 是偶函数.
(1) 求实数 $ k $ 的值；
(2) 若方程 $ f ( x ) - m = 0 $ 有解，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 17.[解析] 本题考查函数的奇偶性、函数的零点与方程根的关系
(1)由已知可得,f(-x)=log₄(4⁻ˣ + 1) - kx = log₄(4ˣ + 1) - x - kx = log₄(4ˣ + 1) - (k + 1)x.因为f(x)为R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),即log₄(4ˣ + 1) + kx = log₄(4ˣ + 1) - (k + 1)x,即(2k + 1)x = 0恒成立,所以2k + 1 = 0,解得k = -$\frac{1}{2}$.
(2)由
(1)知,f(x)=log₄(4ˣ + 1) - $\frac{1}{2}$x = log₄(4ˣ + 1) - log₄4$^{\frac{1}{2}x}$=log₄$\frac{4ˣ + 1}{2ˣ}$=log₄(2ˣ + $\frac{1}{2ˣ}$).令t = 2ˣ,则t ＞ 0,因为t + $\frac{1}{t}$≥2$\sqrt{t·\frac{1}{t}}$ = 2,当且仅当t = 1时等号成立,所以t + $\frac{1}{t}$≥2,即2ˣ + $\frac{1}{2ˣ}$≥2,所以f(x)=log₄(2ˣ + $\frac{1}{2ˣ}$)≥log₄2=$\frac{1}{2}$.因为方程f(x) - m = 0有解,即f(x)=m有解,所以m≥$\frac{1}{2}$.故实数m的取值范围为[$\frac{1}{2}$, +∞).