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2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
16. （15分）已知函数$f(x) = (\frac{1}{2})^{x^{2} - mx}$，$g(x) = x^{2} - 2ax$，$x \in \mathbf{R}$.
（1）若$f(x)$在$[1,2]$上单调递增，求$m$的取值范围；
（2）若$m = 2$，对任意的$x_{1} \in \mathbf{R}$，总存在$x_{2} \in [1,2]$，使得$f(x_{1}) \leqslant g(x_{2})$成立，求$a$的取值范围.
（1）若$f(x)$在$[1,2]$上单调递增，求$m$的取值范围；
（2）若$m = 2$，对任意的$x_{1} \in \mathbf{R}$，总存在$x_{2} \in [1,2]$，使得$f(x_{1}) \leqslant g(x_{2})$成立，求$a$的取值范围.
答案：
16.[解析] 本题考查函数的单调性、不等式的能成立与恒成立问题
(1)$f(x)=(\frac{1}{2})^{x^2 - mx}$，设$t = x^2 - mx$，则$y = (\frac{1}{2})^{t}$，函数$y = (\frac{1}{2})^{t}$在$\mathbf{R}$上单调递减.函数$t = x^2 - mx$的图象开口向上，对称轴为直线$x=\frac{m}{2}$，函数$t = x^2 - mx$在$(-\infty,\frac{m}{2})$上单调递减，在$[\frac{m}{2},+\infty)$上单调递增，又因为$f(x)$在$[1,2]$上单调递增，则函数$t = x^2 - mx$在$[1,2]$上单调递减，所以$\frac{m}{2}\geq2$，所以$m\geq4$，所以$m$的取值范围为$[4,+\infty)$.
(2)因为$m = 2$，对任意的$x_1\in\mathbf{R}$，总存在$x_2\in[1,2]$，使得$f(x_1)\leq g(x_2)$成立，所以只需$f(x_1)_{\max}\leq g(x_2)_{\max}$，由
(1)可知$f(x)$在$(-\infty,\frac{m}{2})$上单调递增，在$[\frac{m}{2},+\infty)$上单调递减，当$m = 2$时，$f(x_1)_{\max}=f(1)$，代入$f(x)$的解析式可得$f(x_1)_{\max}=2$.因为$g(x)=x^2 - 2ax$的图象开口向上，对称轴为直线$x = a$，所以$g(x)$在$(-\infty,a)$上单调递减，在$[a,+\infty)$上单调递增.
①当$a\geq2$时，$g(x)$在$[1,2]$上单调递减，$g(x)_{\max}=g(1)=1 - 2a$，所以$2\leq1 - 2a$，解得$a\leq-\frac{1}{2}$，无解；
②当$a\leq1$时，$g(x)$在$[1,2]$上单调递增，$g(x)_{\max}=g(2)=4 - 4a$，所以$4 - 4a\geq2$，解得$a\leq\frac{1}{2}$.又$a\leq1$，所以$a\leq\frac{1}{2}$.
③当$1 ＜ a ＜ 2$时，若$\vert1 - a\vert＞\vert2 - a\vert$，即$\frac{3}{2}＜a＜2$，则$g(x)_{\max}=g(1)=1 - 2a$，所以$2\leq1 - 2a$，解得$a\leq-\frac{1}{2}$，与假设不符，舍去；若$\vert1 - a\vert=\vert2 - a\vert$，即$a=\frac{3}{2}$，则$g(x)_{\max}=g(1)=g(2)=-2$，则$-2 ＜ 2$，与假设不符，舍去；若$\vert1 - a\vert＜\vert2 - a\vert$，即$1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$，$g(x)_{\max}=g(2)=4 - 4a$，所以$2\leq4 - 4a$，解得$a\leq\frac{1}{2}$，与假设不符，舍去.
综上所述，$a$的取值范围为$(-\infty,\frac{1}{2}]$.
(1)$f(x)=(\frac{1}{2})^{x^2 - mx}$，设$t = x^2 - mx$，则$y = (\frac{1}{2})^{t}$，函数$y = (\frac{1}{2})^{t}$在$\mathbf{R}$上单调递减.函数$t = x^2 - mx$的图象开口向上，对称轴为直线$x=\frac{m}{2}$，函数$t = x^2 - mx$在$(-\infty,\frac{m}{2})$上单调递减，在$[\frac{m}{2},+\infty)$上单调递增，又因为$f(x)$在$[1,2]$上单调递增，则函数$t = x^2 - mx$在$[1,2]$上单调递减，所以$\frac{m}{2}\geq2$，所以$m\geq4$，所以$m$的取值范围为$[4,+\infty)$.
(2)因为$m = 2$，对任意的$x_1\in\mathbf{R}$，总存在$x_2\in[1,2]$，使得$f(x_1)\leq g(x_2)$成立，所以只需$f(x_1)_{\max}\leq g(x_2)_{\max}$，由
(1)可知$f(x)$在$(-\infty,\frac{m}{2})$上单调递增，在$[\frac{m}{2},+\infty)$上单调递减，当$m = 2$时，$f(x_1)_{\max}=f(1)$，代入$f(x)$的解析式可得$f(x_1)_{\max}=2$.因为$g(x)=x^2 - 2ax$的图象开口向上，对称轴为直线$x = a$，所以$g(x)$在$(-\infty,a)$上单调递减，在$[a,+\infty)$上单调递增.
①当$a\geq2$时，$g(x)$在$[1,2]$上单调递减，$g(x)_{\max}=g(1)=1 - 2a$，所以$2\leq1 - 2a$，解得$a\leq-\frac{1}{2}$，无解；
②当$a\leq1$时，$g(x)$在$[1,2]$上单调递增，$g(x)_{\max}=g(2)=4 - 4a$，所以$4 - 4a\geq2$，解得$a\leq\frac{1}{2}$.又$a\leq1$，所以$a\leq\frac{1}{2}$.
③当$1 ＜ a ＜ 2$时，若$\vert1 - a\vert＞\vert2 - a\vert$，即$\frac{3}{2}＜a＜2$，则$g(x)_{\max}=g(1)=1 - 2a$，所以$2\leq1 - 2a$，解得$a\leq-\frac{1}{2}$，与假设不符，舍去；若$\vert1 - a\vert=\vert2 - a\vert$，即$a=\frac{3}{2}$，则$g(x)_{\max}=g(1)=g(2)=-2$，则$-2 ＜ 2$，与假设不符，舍去；若$\vert1 - a\vert＜\vert2 - a\vert$，即$1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$，$g(x)_{\max}=g(2)=4 - 4a$，所以$2\leq4 - 4a$，解得$a\leq\frac{1}{2}$，与假设不符，舍去.
综上所述，$a$的取值范围为$(-\infty,\frac{1}{2}]$.
17. （15分）人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前$1$小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现有一位体重为$60kg$的马拉松运动员进行$4$小时长跑训练，假设其稳定阶段做速度为$v_{1} = 30km/h$的匀速运动，该阶段每千克体重消耗的体力为$\Delta Q_{1} = t_{1}×2v_{1}$（$t_{1}$表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为$v_{2} = 30 - 10t_{2}$的减速运动（$t_{2}$表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗的体力为$\Delta Q_{2} = \frac{t_{2}×2v_{2}}{t_{2} + 1}$，已知该运动员初始体力为$Q_{0} = 10000kJ$，不考虑其他因素，所用时间为$t$（单位：$h$），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力$Q$关于时间$t$的函数$Q(t)$；
（2）在$4$小时的长跑训练中，该运动员的体力何时达到最低值，最低值为多少？
（1）请写出该运动员剩余体力$Q$关于时间$t$的函数$Q(t)$；
（2）在$4$小时的长跑训练中，该运动员的体力何时达到最低值，最低值为多少？
答案：
17.[解析] 本题考查函数的实际应用
(1)由题可先写出速度$v$关于时间$t$的函数关系式$v(t)=\begin{cases}30,0 ＜ t\leq1\\30 - 10(t - 1),1 ＜ t\leq4\end{cases}$，代入$\Delta Q_1$与$\Delta Q_2$公式可得$Q(t)=\begin{cases}10000 - 60· t×2×30,0 ＜ t\leq1\\6400-\frac{60(t - 1)·2[30 - 10(t - 1)]}{t - 1 + 1}+\frac{4800}{t},1 ＜ t\leq4\end{cases}$，即$Q(t)=\begin{cases}10000 - 3600t,0 ＜ t\leq1\\400 + 1200t+\frac{4800}{t},1 ＜ t\leq4\end{cases}$.
(2)由
(1)知，当处于稳定阶段时，$Q(t)$单调递减，此过程中$Q(t)$的最小值为$Q(1)=6400kJ$.当处于疲劳阶段时，$Q(t)=400 + 1200t+\frac{4800}{t}\geq400 + 2\sqrt{1200t·\frac{4800}{t}}=400 + 2\sqrt{1200×4800}=5200(kJ)$，当且仅当$1200t=\frac{4800}{t}$，即$t = 2$时，等号成立，所以当处于疲劳阶段时该运动员的体力的最低值为$5200kJ$.因为$5200 ＜ 6400$，所以在$t = 2$时，该运动员的体力达到最低值，最低值为$5200kJ$.
(1)由题可先写出速度$v$关于时间$t$的函数关系式$v(t)=\begin{cases}30,0 ＜ t\leq1\\30 - 10(t - 1),1 ＜ t\leq4\end{cases}$，代入$\Delta Q_1$与$\Delta Q_2$公式可得$Q(t)=\begin{cases}10000 - 60· t×2×30,0 ＜ t\leq1\\6400-\frac{60(t - 1)·2[30 - 10(t - 1)]}{t - 1 + 1}+\frac{4800}{t},1 ＜ t\leq4\end{cases}$，即$Q(t)=\begin{cases}10000 - 3600t,0 ＜ t\leq1\\400 + 1200t+\frac{4800}{t},1 ＜ t\leq4\end{cases}$.
(2)由
(1)知，当处于稳定阶段时，$Q(t)$单调递减，此过程中$Q(t)$的最小值为$Q(1)=6400kJ$.当处于疲劳阶段时，$Q(t)=400 + 1200t+\frac{4800}{t}\geq400 + 2\sqrt{1200t·\frac{4800}{t}}=400 + 2\sqrt{1200×4800}=5200(kJ)$，当且仅当$1200t=\frac{4800}{t}$，即$t = 2$时，等号成立，所以当处于疲劳阶段时该运动员的体力的最低值为$5200kJ$.因为$5200 ＜ 6400$，所以在$t = 2$时，该运动员的体力达到最低值，最低值为$5200kJ$.
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