《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

1. 已知集合 $ P = \{ x | x ^ { 2 } ＜ x \} $，则（B）
A.$ - 1 \in P $
B.$ 0 \notin P $
C.$ [ 0, 1 ] \subseteq P $
D.$ \{ 0, 1 \} \subsetneqq P $

答案： 1.B 本题考查元素与集合、集合与集合的关系 $P = \{x\mid x^2 \lt x\} = \{x\mid 0 \lt x \lt 1\}$，因此只有$0\notin P$正确.故选B.

2. 函数 $ f ( x ) = 2 ^ { x } + \frac { 1 } { 2 ^ { x } } $ 在定义域 $ \mathbf { R } $ 上是（D）
A.增函数
B.减函数
C.奇函数
D.偶函数

答案： 2.D 本题考查函数的单调性和奇偶性 $f(-x)=2^{-x}+\frac{1}{2^{-x}}=\frac{1}{2^x}+2^x = f(x)$，则函数$f(x)$为偶函数.$f(x)=2^x+\frac{1}{2^x}$是由函数$y = u+\frac{1}{u}(u \gt 0)$与函数$u = 2^x$复合所得，其中$u = 2^x$是$\mathbf{R}$上的增函数，且$u\in(0,+\infty)$，当$x \lt 0$时，$0 \lt u \lt 1$，当$x \gt 0$时，$u \gt 1$.因为$y = u+\frac{1}{u}$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，排除AB.故选D.

3. 已知集合 $ S = \{ x | a x = 1 \} $ 是集合 $ T = \{ x | x ^ { 2 } - 1 = 0 \} $ 的子集，则符合条件的实数 $ a $ 的值共有（C）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.无数个

答案： 3.C 本题考查集合间的基本关系 由题可知，集合$S = \{x\mid ax = 1\}$，集合$T = \{x\mid x^2 - 1 = 0\} = \{1,-1\}$.因为$S\subseteq T$，所以当$S = \varnothing$时，可得$a = 0$，显然成立；当$S = \{1\}$时，可得$a = 1$，符合题意；当$S = \{-1\}$时，可得$a = -1$，符合题意.故满足条件的实数$a$的值共有$3$个.故选C.

4. “$ x ＞ \frac { 1 } { 2 } $”是“$ \frac { 1 } { x } ＜ 2 $”的（A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4.A 本题考查不等式、充分必要条件 当$x \gt \frac{1}{2}$时一定有$\frac{1}{x} \lt 2$成立.当$\frac{1}{x} \lt 2$时，若$\frac{1}{x} = -1 \lt 2$，则$x = -1 \lt \frac{1}{2}$，因此“$x \gt \frac{1}{2}$”是“$\frac{1}{x} \lt 2$”的充分不必要条件.故选A.

5. 函数 $ f ( x ) = x - \sqrt { 1 - x } $ 的值域是（C）
A.$ ( - \infty, 0 ] $
B.$ [ 0, + \infty ) $
C.$ ( - \infty, 1 ] $
D.$ [ 1, + \infty ) $

答案： 5.C 本题考查函数的值域 由题可得$1 - x \geq 0$，令$t = \sqrt{1 - x}$，则$t \geq 0$，$x = 1 - t^2$，所以$f(x) = x - \sqrt{1 - x}$可化为$y = 1 - t^2 - t = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$，$t \geq 0$，当$t = 0$时，$y$取得最大值$1$，没有最小值，所以函数$f(x) = x - \sqrt{1 - x}$的值域是$(-\infty,1]$.故选C.

6. 已知 $ a, b \in \mathbf { R }, a ＞ | b | $，则下列不等式不恒成立的是（D）
A.$ a + b ＞ 0 $
B.$ a - b ＞ 0 $
C.$ a ^ { 2 } ＞ b ^ { 2 } $
D.$ \frac { 1 } { a } ＜ \frac { 1 } { b } $

答案： 6.D 本题考查不等式的性质 由题意可知，$a \gt 0$.因为$a \gt |b| \geq 0$，所以$a^2 \gt b^2$，故C正确；当$b \geq 0$时，$a \gt b$，此时$a + b \gt 0$与$a - b \gt 0$都成立，而当$b \lt 0$时，$a \gt -b$，此时$a + b \gt 0$与$a - b \gt 0$也都成立，故AB正确；当$b \lt 0$时，因为$a \gt 0$，所以$\frac{1}{a} \gt \frac{1}{b}$，故D错误.故选D.

7. 设 $ a = 0.2 ^ { - 0.1 }, b = 0.1 ^ { - 0.1 }, c = 0.1 ^ { - 0.2 } $，则 $ a, b, c $ 的大小关系正确的是（ ）

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ a ＜ c ＜ b $
C.$ c ＜ a ＜ b $
D.$ c ＜ b ＜ a $

答案：
7.A 本题考查指数式比较大小 函数$y = x^{-0.1}$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$a \lt b$.函数$y = 0.1^x$在$\mathbf{R}$上单调递减，所以$b \lt c$.所以$a \lt b \lt c$.故选A.

8. 设函数 $ y = f ( x ) $ 的定义域为 $ \mathbf { R } $，对于任一给定的正数 $ p $，定义函数 $ f _ { p } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { f ( x ), f ( x ) \leq p, } \\ { p, f ( x ) ＞ p, } \end{array} \right. $ 则称 $ f _ { p } ( x ) $ 为 $ f ( x ) $ 的“$ p $ 界函数”。若函数 $ f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x - 1 $，则给出下列结论：① $ f _ { 2 } ( 2 ) = 2 $；② $ f _ { 2 } ( x ) $ 的值域为 $ [ - 2, 2 ] $；③ $ f _ { 2 } ( x ) $ 在 $ [ - 1, 1 ] $ 上单调递减；④函数 $ y = f _ { 2 } ( x + 1 ) $ 为偶函数。其中正确的结论共有（B）
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

答案： 8.B 本题考查函数新定义、二次函数 由$x^2 - 2x - 1 \leq 2$，解得$-1 \leq x \leq 3$，因此$f_2(x) = \begin{cases} x^2 - 2x - 1, & -1 \leq x \leq 3, \\ 2, & x \lt -1 或 x \gt 3. \end{cases}$
对于①，$f_2(2)=2^2 - 2×2 - 1 = -1$，故①不正确；对于②，当$-1 \leq x \leq 3$时，$-2 \leq x^2 - 2x - 1 \leq 2$，结合$f_2(x)$的解析式可知，$f_2(x)$的值域为$[-2,2]$，故②正确；对于③，当$-1 \leq x \leq 1$时，$f_2(x)=f(x)=x^2 - 2x - 1$，结合其图象可知，$f_2(x)$在$[-1,1]$上单调递减，故③正确；对于④，$y = f_2(x + 1) = \begin{cases} x^2 - 2, & -2 \leq x \leq 2, \\ 2, & x \lt -2 或 x \gt 2, \end{cases}$其图象关于$y$轴对称，所以函数$y = f_2(x + 1)$为偶函数，故④正确.故选B.
名师点拨
本题为函数新定义问题，由新定义知，“界函数”的实质是一个分段函数，因此研究该“界函数”的值域、单调性、奇偶性时可借助图象进行分析判断.