《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

18. (17 分)定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x + y)=\frac{1}{2}f(x)f(y) $，且 $ \{f(x)|x\gt 0\}=(2,+\infty) $.
(1)求 $ f(0) $；
(2)证明：$ f(x)\gt 0 $；
(3)若对任意的 $ x\in\mathbf{R},f(x) + \lambda f(-x)\geqslant 4 $ 恒成立，求实数 $ \lambda $ 的取值范围.

答案： 18.[解析] 本题考查抽象函数的运用及不等式恒成立
问题
(1)f(x)的定义域为R，$f(x+y)=\frac{1}{2}f(x)f(y)，$
令y=0，得$f(x)=\frac{1}{2}f(x)f(0)，$
因为f(x)不恒为0，所以f
(0)=2.
(2)证明：由
(1)知当x=0时，f(x)=2.
由题意知，当x＞0时，f(x)＞2.
所以当x＜0时，−x＞0，f(−x)＞2，
令y=−x，则$f(x+y)=f(0)=\frac{1}{2}f(x)f(−x)=2，$即f(x)f(−x)=4，所以f(x)=
$\frac{4}{f(−x)}＞0.$
综上所述，∀x∈R，f(x)＞0.
(3)令y=−x，可得f(x)f(−x)=4，
又由
(2)知∀x∈R，f(x)＞0，所以$f(−x)=\frac{4}{f(x)}.$
令t=f(x)，则对任意t＞0，$t+\frac{4λ}{t}≥4，$即$λ≥\frac{1}{4}t(4−$
t)恒成立.
记$g(t)=\frac{1}{4}t(4−t)=−\frac{1}{4}(t−2)^2+1，$t＞0，
当t=f
(0)=2时，g(t)取得最大值1，
所以λ的取值范围为[1,+∞).

19. (17 分)已知函数 $ f(x)=(x + a)|x - 2a|,x\in\mathbf{R} $.
(1)讨论函数的单调性（无须证明）.
(2)若方程 $ f(x)=3a - 1 $ 有三个互异实根 $ x_1,x_2,x_3 $.
(i)求实数 $ a $ 的取值范围；
(ii)求 $ \frac{x_1 + x_2 + x_3}{a} $ 的取值范围.

答案： $19.[$解析$] $本题考查函数与方程的综合问题　　
$(1)f(x)=\begin{cases}−x^2+ax+2a^2,x＜2a,\\x^2−ax−2a^2,x≥2a.\end{cases}$　　
若$a=0，$则$f(x)=\begin{cases}−x^2,x＜0,\\x^2,x≥0,\end{cases}f(x)$在$R$上单调　　
递增；　　
若$a＞0，$则$2a＞\frac{a}{2}，$$f(x)$在$(−∞,\frac{a}{2})$上单调递增，　　
在$(\frac{a}{2},2a)$上单调递减，在$(2a,+∞)$上单调递增；　　
若$a＜0，$则$2a＜\frac{a}{2}，$$f(x)$在$(−∞,2a)$上单调递增，　　
在$(2a,\frac{a}{2})$上单调递减，在$(\frac{a}{2},+∞)$上单调递增$.$　　
$(2)(i)$若$a=0，$$f(x)=3a−1$只有一个根，不符合　　
题意；　　
若$a＞0，$$f(x)=3a−1$有三个互异实根$⇔$　　
$\begin{cases}f(\frac{a}{2})＞3a−1,\\f(2a)＜3a−1,\end{cases}$　　
$\begin{cases}a＞0,\\9a^2−12a+4＞0,\\3a−1＞0,\end{cases}$　　
整理得$9a^2−12a+4＞0，$解得$a＞\frac{2+2\sqrt{2}}{3}$　　
或$a＜\frac{2−2\sqrt{2}}{3}；$　　
若$a＜0，$$f(x)=3a−1$有三个互异实根$⇔$　　
$\begin{cases}f(2a)＞3a−1,\\f(\frac{a}{2})＜3a−1,\end{cases}$　　
解得$a＜−\frac{2+2\sqrt{2}}{3}$　　
综上所述，实数$a$的取值范围是$(−∞,−\frac{2+2\sqrt{2}}{3})∪$　　
$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})∪(\frac{2}{3},+∞).$　　
$(ii)$不妨设$x_1＜x_2＜x_3，$由$(i)$知$a=0$不符合题意$.$　　
若$a＞0，$则$x_1+x_2=a，$$x_3=\frac{a+\sqrt{9a^2+12a−4}}{2}，$　　
所以$\frac{x_1+x_2+x_3}{a}=\frac{3}{2}+\frac{1}{a^2}+\frac{3}{a}+\frac{9}{4}=\frac{3}{2}+$　　
$\sqrt{−(\frac{1}{a}−\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}}，$　　
因为$a＞\frac{1}{3}$且$a≠\frac{2}{3}，$所以$\frac{1}{a}∈(0,\frac{3}{2})∪(\frac{3}{2},3)，$所以　　
$x_1+x_2+x_3∈(3,\frac{3+3\sqrt{2}}{2})；$　　
若$a＜0，$则$x_1=2a−1，$$x_2+x_3=a，$所以$\frac{x_1+x_2+x_3}{a}=$　　
$3−\frac{1}{a}，$　　
因为$a＜−\frac{2+2\sqrt{2}}{3}，$所以$\frac{1}{a}∈(\frac{3−3\sqrt{2}}{2},0)，$所以　　
$x_1+x_2+x_3∈(3,\frac{3+3\sqrt{2}}{2}).$　　
综上所述，$\frac{x_1+x_2+x_3}{a}$的取值范围是$(3,\frac{3+3\sqrt{2}}{2}).$　　
名师点拨　　
对于　　
$(2)(i)，$关键是讨论$a$的符号，结合　　
$(1)$　　
中所得$f(x)$的单调性，画出草图即可分析求解；　　
对于　　
$(2)(ii)，$解题突破口是发现当$a＞0$时，$x_1+$　　
$x_2=a，$$x_3$可用$a$表示，当$a＜0$时，$x_2+x_3=a，$　　
$x_1$可用$a$表示，通过减元的方法求解$.$