《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

18. （17分）已知关于$x$的不等式$x ^ { 2 } - 2 m x + m + 2 \leqslant 0 ( m \in \mathbf { R } )$的解集为$M$.
（1）当$M$为空集时，求$f ( m ) = \frac { m ^ { 2 } + 2 m + 5 } { m + 1 }$的最小值；
（2）当$M$不为空集，且$M \subseteq [ 1,4 ]$时，求实数$m$的取值范围.

答案： 18.[解析] 本题考查集合与一元二次不等式的综合问题
(1)因为$M$为空集，所以$x^{2}-2mx + m + 2 = 0$的根的判别式$\Delta=4m^{2}-4(m + 2)＜0$，即$m^{2}-m - 2＜0$，解得$-1＜m＜2$，所以实数$m$的取值范围是$(-1,2)$，则$f(m)=\frac{m^{2}+2m + 5}{m + 1}=m + 1+\frac{4}{m + 1}\geq2\sqrt{(m + 1)·\frac{4}{m + 1}}=4$，当且仅当$m + 1=\frac{4}{m + 1}$，即$m = 1$时，等号成立，所以当$M$为空集时，$f(m)=\frac{m^{2}+2m + 5}{m + 1}$的最小值是$4$.
(2)当$M$不为空集，且$M\subseteq[1,4]$时，$\begin{cases}4m^{2}-4(m + 2)\geq0,\\1 - 2m + m + 2\geq0,\\16 - 8m + m + 2\geq0,\\1\leq m\leq4,\end{cases}$解得$2\leq m\leq\frac{18}{7}$，所以实数$m$的取值范围是$\left[2,\frac{18}{7}\right]$.

19. （17分）已知函数$f ( x ) = \frac { a x + b } { x ^ { 2 } + 4 }$为定义在$[ - 2,2 ]$上的奇函数，且满足$f ( 1 ) = \frac { 1 } { 5 }$.
（1）求函数$f ( x )$的解析式；
（2）判断$f ( x )$的单调性，并利用定义加以证明；
（3）若对任意的$x \in [ - 2,2 ]$，都有$f ( x ) \leqslant m ^ { 2 } - 2 a m + \frac { 1 } { 4 }$对任意的$a \in [ - 1,1 ]$恒成立，求实数$m$的取值范围.

答案： 19.[解析] 本题考查函数性质综合与不等式恒成立问题
(1)因为函数$f(x)=\frac{ax + b}{x^{2}+4}$是定义在$[-2,2]$上的奇函数，所以$f(0)=0$，即$\frac{b}{4}=0$，解得$b = 0$，又因为$f(1)=\frac{a}{1 + 4}=\frac{a}{5}=\frac{1}{5}$，所以$a = 1$，所以$f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}$.
(2)函数$f(x)$在$[-2,2]$上为增函数.证明如下：任取$-2\leq x_{1}＜x_{2}\leq2$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}+4}-\frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+4}=\frac{x_{1}x_{2}^{2}+4x_{1}-x_{2}x_{1}^{2}-4x_{2}}{(x_{1}^{2}+4)(x_{2}^{2}+4)}=\frac{x_{1}x_{2}(x_{2}-x_{1})-4(x_{2}-x_{1})}{(x_{1}^{2}+4)(x_{2}^{2}+4)}=\frac{(x_{2}-x_{1})(x_{1}x_{2}-4)}{(x_{1}^{2}+4)(x_{2}^{2}+4)}$.因为$-2\leq x_{1}＜x_{2}\leq2$，所以$x_{2}-x_{1}＞0,x_{1}x_{2}-4＜0$，所以$\frac{(x_{2}-x_{1})(x_{1}x_{2}-4)}{(x_{1}^{2}+4)(x_{2}^{2}+4)}＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，故$f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}$在$[-2,2]$上为增函数.
(3)由
(2)可知，函数$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增，则$f(x)_{\max}=f(2)=\frac{1}{4}$，由于$f(x)\leq m^{2}-2am+\frac{1}{4}$对任意的$x\in[-2,2]$恒成立，则$m^{2}-2am+\frac{1}{4}\geq\frac{1}{4}$，即$m^{2}-2am\geq0$对任意的$a\in[-1,1]$恒成立，构造函数$g(a)=-2am + m^{2}$，其中$a\in[-1,1]$，所以$\begin{cases}g(-1)\geq0,\\g(1)\geq0,\end{cases}$即$\begin{cases}m^{2}+2m\geq0,\\m^{2}-2m\geq0,\end{cases}$解得$m\leq-2$或$m = 0$或$m\geq2$，所以实数$m$的取值范围是$(-\infty,-2]\cup\{0\}\cup[2,+\infty)$.