《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

9. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ a x ^ { 2 } + b x + c ＞ 0 $ 的解集为 $ \{ x | x ＜ - 3 $ 或 $ x ＞ 2 \} $，则下列结论正确的有（AD）
A.$ a ＞ 0 $
B.不等式 $ b x + c ＞ 0 $ 的解集是 $ \{ x | x ＜ - 6 \} $
C.$ a + b + c ＞ 0 $
D.不等式 $ c x ^ { 2 } - b x + a ＜ 0 $ 的解集是 $ \left\{ x | x ＜ - \frac { 1 } { 2 } $ 或 $ x ＞ \frac { 1 } { 3 } \right\} $

答案： 9.AD本题考查一元二次不等式的解集　对于A，由关于$x$的不等式$ax^2 + bx + c＞0$的解集为$\{x|x＜-3$或$x＞2\}$，知$-3$和$2$是方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个实根，且$a＞0$，故A正确；对于B，根据一元二次方程根与系数的关系知$-\frac {b}{a}=-3 + 2 = - 1＜0$，$\frac {c}{a}=-3×2 = - 6＜0$，所以$b = a$，$c = -6a$，又$a＞0$，所以不等式$bx + c＞0$可化为$x - 6＞0$，解得$x＞6$，故不等式$bx + c＞0$的解集是$\{x|x＞6\}$，故B不正确；对于C，由于$a＞0$，故$a + b + c = a + a - 6a = - 4a＜0$，故C不正确；对于D，不等式$cx^2 - bx + a＜0$可化为$6x^2 + x - 1＞0$，解得$x\in\{x|x＜-\frac {1}{2}$或$x＞\frac {1}{3}\}$，故D正确。故选AD。

10. 已知函数 $ f ( x ) = 3 \sin \left( 2 x + \frac { \pi } { 3 } \right) $，函数 $ g ( x ) $ 的图象由 $ f ( x ) $ 的图象向右平移 $ \frac { \pi } { 4 } $ 个单位长度得到，则下列关于函数 $ g ( x ) $ 的说法正确的有（ABC）
A.$ g ( x ) $ 的图象关于点 $ \left( \frac { \pi } { 12 }, 0 \right) $ 对称
B.$ g ( x ) $ 的图象关于直线 $ x = \frac { \pi } { 3 } $ 对称
C.$ g ( x ) $ 在 $ \left[ - \frac { \pi } { 24 }, \frac { 5 \pi } { 24 } \right] $ 上单调递增
D.$ g ( x ) $ 在 $ \left[ - \frac { \pi } { 6 }, \frac { \pi } { 3 } \right] $ 上单调递减

答案： 10.ABC本题考查三角函数的图象与性质　函数$f(x)=3\sin(2x+\frac {\pi}{3})$的图象向右平移$\frac {\pi}{4}$个单位长度，所得图象对应的函数解析式为$g(x)=3\sin[2(x - \frac {\pi}{4})+\frac {\pi}{3}]=3\sin(2x - \frac {\pi}{6})$。对于A，因为$g(\frac {\pi}{12})=0$，所以$g(x)$的图象关于点$(\frac {\pi}{12},0)$对称，所以A正确；对于B，因为$g(\frac {\pi}{3})=3$，所以$g(x)$的图象关于直线$x=\frac {\pi}{3}$对称，所以B正确；对于C，当$x\in[-\frac {\pi}{24},\frac {5\pi}{24}]$时，$2x - \frac {\pi}{6}\in[-\frac {\pi}{4},\frac {\pi}{4}]$，根据正弦函数的性质，可得$g(x)$在$[-\frac {\pi}{24},\frac {5\pi}{24}]$上单调递增，所以C正确；对于D，当$x\in[-\frac {\pi}{6},\frac {\pi}{3}]$时，$2x - \frac {\pi}{6}\in[-\frac {\pi}{2},\frac {\pi}{2}]$，根据正弦函数的性质，可得$g(x)$在$[-\frac {\pi}{6},\frac {\pi}{3}]$上单调递增，所以D不正确。故选ABC。

11. 定义在 $ \mathbf { R } $ 上的函数 $ f ( x ) $ 满足 $ f ( 4 - x ) = - f ( x ) $，$ f ( 2 x + 1 ) $ 为偶函数，$ f ( 1 ) = 2 $，函数 $ g ( x ) ( x \in \mathbf { R } ) $ 满足 $ g ( x ) = g ( 2 - x ) $，若 $ y = f ( x ) $ 与 $ y = g ( x ) $ 的图象恰有 $ 2023 $ 个交点，且从左至右依次为点 $ ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $，$ ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $，$ ·s $，$ ( x _ { 2023 }, y _ { 2023 } ) $，则下列说法正确的是（ACD）
A.$ f ( x ) $ 为奇函数
B.$ 2 $ 为 $ y = f ( x ) $ 的一个周期
C.$ y _ { 1012 } = 2 $
D.$ x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } + ·s + x _ { 2023 } = 2023 $

答案： 11.ACD本题考查抽象函数的图象与性质　由$f(2x + 1)$为偶函数，得函数$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，由$f(4 - x)= - f(x)$，得函数$f(x)$的图象关于点$(2,0)$对称，则$\begin{cases}f(2 + x)+f(2 - x)=0,\\f(2 - x)=f(x),\end{cases}$可得$f(2 + x)+f(x)=0$。对于A，由$f(2 + x)+f(x)=0$，可得$f(2 - x)=-f(-x)$，所以$f(x)= - f(-x)$，又函数$f(x)$的定义域为$R$，所以$f(x)$为奇函数，所以A正确；对于B，由$f(2 + x)= - f(x)$，得$f(3)= - f(1)=-2$，所以B错误；对于C，由$g(x)=g(2 - x)$，得函数$g(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，因此函数$f(x)$与$g(x)$图象的交点也关于直线$x = 1$对称，则$y_{1012}=f(1)=2$，所以C正确；对于D，由函数$f(x)$与$g(x)$图象的交点也关于直线$x = 1$对称，可得$\sum_{i = 1}^{2023}x_i = 2023$，故D正确。故选ACD。
归纳总结
1.若函数$y = f(x + a)$是偶函数，则函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = a$对称。
2.若函数$y = f(x + b)$是奇函数，则函数$y = f(x)$的图象关于点$(b,0)$中心对称。
3.若函数$f(x)$的图象关于直线$x = a$与直线$x = b$对称，那么函数的周期是$2|b - a|$。
4.若函数$f(x)$的图象关于点$(a,0)$对称，且关于点$(b,0)$对称，那么函数的周期是$2|b - a|$。
5.若函数$f(x)$的图象关于直线$x = a$对称，且关于点$(b,0)$对称，那么函数的周期是$4|b - a|$。

12. 已知向量 $ \boldsymbol { a } $，$ \boldsymbol { b } $ 满足 $ | \boldsymbol { a } | = | \boldsymbol { b } | = 2 $，$ \boldsymbol { a } · ( \boldsymbol { a } - \boldsymbol { b } ) = 1 $，则 $ | 2 \boldsymbol { a } - \boldsymbol { b } | = $$2\sqrt{2}$.

答案： 12.$2\sqrt{2}$ [解析] 本题考查平面向量模的计算 $\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^2 - \boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=4 - \boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=1$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=3$，所以$|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^2}=\sqrt{4\boldsymbol{a}^2 - 4\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^2}=\sqrt{4×2^2 - 4×3 + 2^2}=2\sqrt{2}$。

13. 若 $ \cos \left( \frac { \pi } { 6 } - \alpha \right) = \frac { \sqrt { 10 } } { 5 } $，则 $ \cos \left( \frac { 2 \pi } { 3 } + 2 \alpha \right) $ 的值为$\frac{1}{5}$.

答案： 13.$\frac {1}{5}$ [解析] 本题考查三角恒等变换 由题意得，$\cos(\frac {2\pi}{3}+2\alpha)=\cos[\pi - 2(\frac {\pi}{6}-\alpha)]=-\cos[2(\frac {\pi}{6}-\alpha)]=1 - 2\cos^2(\frac {\pi}{6}-\alpha)=1 - 2×(\frac {\sqrt{10}}{5})^2=\frac {1}{5}$。

14. 已知 $ a ＞ 1 $，$ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $ 分别是函数 $ f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + x - a $ 与 $ g ( x ) = \ln x + x - a $ 的零点，若 $ m = \mathrm { e } ^ { x _ { 1 } } + x _ { 2 } $，则实数 $ m $ 的取值范围为______.

答案：
14.$(2,+\infty)$ [解析] 本题考查利用函数图象解决函数零点相关问题
由题意得，$x_1$，$x_2$分别为函数$y = e^x$，$y = \ln x$的图象与直线$y = a - x$交点的横坐标，而$y = e^x$与$y = \ln x$的图象关于直线$y = x$对称，直线$y = a - x$与直线$y = x$垂直，因此这两个交点关于直线$y = x$对称，如图所示。

所以$e^{x_1}=x_2$，因为$a＞1$，所以$x_2＞1$，所以$m = e^{x_1}+x_2 = 2x_2\in(2,+\infty)$。

15. （13 分）计算：
（1）$ \sqrt { ( 3 - \pi ) ^ { 2 } } + 8 ^ { \frac { 1 } { 3 } } + \left( \frac { 8 } { 27 } \right) ^ { - \frac { 2 } { 3 } } - 0.5 ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 0 } $；
（2）$ ( \log _ { 4 } 3 + \log _ { 8 } 3 ) ( \log _ { 3 } 2 + \log _ { 9 } 2 ) + \log _ { 3 } \sqrt [ 4 ] { 27 } - 2 ^ { \log _ { 2 } 5 } $.

答案： 15.[解析] 本题考查指数、对数的运算
(1)$\sqrt{(3 - \pi)^2}+8^{\frac {1}{3}}+(\frac {8}{27})^{-\frac {2}{3}}-0.5^2+(\sqrt{3}-1)^0=|3 - \pi|+(2^3)^{\frac {1}{3}}+(\frac {3}{2})^{3×\frac {2}{3}}-\frac {1}{4}+1=(\pi - 3)+2+\frac {9}{4}-\frac {1}{4}+1=\pi+2$。
(2)$(\log_43+\log_83)(\log_32+\log_92)+\log_3\sqrt[3]{27}-2^{\log_25}=(\frac {\log_23}{\log_24}+\frac {\log_23}{\log_28})(\log_32+\frac {\log_32}{\log_39})+\log_33^{\frac {3}{4}}-5=(\frac {1}{2}+\frac {1}{3})×\log_23×(1+\frac {1}{2})×\log_32+\frac {3}{4}-5=\frac {5}{6}×\frac {3}{2}+\frac {3}{4}-5=-3$。