《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

10. 已知 $ a ＞ 0 $，函数 $ f ( x ) = x ^ { a } - a ^ { x } ( x ＞ 0 ) $ 的图象可能是（ABC）

答案： 10.ABC 本题考查函数的图象 当0 ＜ a ＜ 1时,函数y = xα在(0, +∞)上单调递增,函数y = ax在(0,+∞)上单调递减,因此函数f(x)=xα - ax在(0, +∞)上单调递增,而f
(0)= -1,f(a)=0,且函数f(x)的图象为曲线,A可能;当a = 1时,函数f(x)=x - 1在(0, +∞)上的图象是不含端点(0, -1)的射线,B可能;当a ＞ 1时,取a = 2,有f
(2)=f
(4)=0,即函数f(x)=x² - 2²(x ＞ 0)的图象与x轴有两个公共点,又x∈(0, +∞),随着x的增大,函数y = 2²呈爆炸式增长,其增长速度比y = x²大得多,因此存在正数x₀,使得当x ＞ x₀时,x² ＜ 2²,即f(x) ＜ 0恒成立,故C可能,D不可能.故选ABC.

11. 著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如 $ \sqrt { ( x - a ) ^ { 2 } + ( y - b ) ^ { 2 } } $ 的代数式，可以转化为平面上点 $ M ( x, y ) $ 与 $ N ( a, b ) $ 的距离加以考虑. 对于函数 $ f ( x ) = | \sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 5 } - \sqrt { x ^ { 2 } - 6 x + 13 } | $，下列说法正确的是（ ）

A.$ y = f ( x ) $ 的图象是轴对称图形
B.$ y = f ( x ) $ 的值域是 $ [ 0, 4 ] $
C.$ f ( x ) $ 先减小后增大
D.方程 $ f ( f ( x ) ) = \sqrt { 13 } - \sqrt { 5 } $ 有且仅有一个解

答案：
11.AC 本题考查函数的零点与方程根的关系、函数的值域、函数的单调性、函数的图象
思路探寻
设点P(x, 0), M(-1, 2), N(3, 2)
f(x)=||PM| - |PN|| \begin{cases} 将f(x)转化为两点距离之差的绝对值 \\ 作出图形 \\ 数形结合 \end{cases}⇒ f(x)的性质,从而得解.
f(x)=|\sqrt{(x + 1)² + 4} - \sqrt{(x - 3)² + 4}|,设P(x, 0),M(-1, 2),N(3, 2),则f(x)=||PM| - |PN||.如图,由图可得对于x轴上的任意点P及点P',且点P与点P'关于点(1, 0)对称时,||PM| - |PN||与||P'M| - |P'N||的值始终相等,因此f(x)的图象是轴对称图形,它关于直线x = 1对称,A正确;显然MN//x轴,当点P位于点(1, 0)时,|PM| = |PN|,即f
(1)=0,又||PM| - |PN||≤|MN| = 4,而P,M,N不可能共线,即||PM| - |PN||≠4,所以f(x)∈[0, 4),B错误;设点Q在x轴上,且点P在点(1, 0)右侧,点Q在点P右侧,MQ与PN相交于点E,如图,则|ME| + |PE| ＞ |PM|,|NE| + |QE| ＞ |QN|,|QM| + |PN| = |QE| + |EM| + |PE| + |NE| ＞ |PM| + |QN|,所以|QM| - |QN| ＞ |PM| - |PN|,因为点P在点(1, 0)右侧时,|PM| ＞ |PN|,所以|QM| - |QN| ＞ |PM| - |PN| ＞ 0,即||QM| - |QN|| ＞ ||PM| - |PN||,这说明点P从点(1, 0)处向右移动时,f(x)递增,同理可得,点P在x轴上从左侧向点(1, 0)移动时,f(x)递减,C正确;因为f(x)=|\sqrt{x² + 2x + 5} - \sqrt{x² - 6x + 13}|,所以f
(0)=f
(2)=$\sqrt{13} - \sqrt{5}$,设t = f(x),则方程f(t)=$\sqrt{13} - \sqrt{5}$的解是t₁ = 0和t₂ = 2,因为f(x)=t₁ = 0有一个解x = 1,f(x)=t₂ = 2有两个不同的解,因此f(f(x)) = $\sqrt{13} - \sqrt{5}$有三个不同的解,D错误.故选AC.

12. 若函数 $ f ( x ) = ( m ^ { 2 } - m - 1 ) x ^ { m } $ 是幂函数，则实数 $ m $ 的值为−1或2.

答案： 12.−1或2 [解析] 本题考查幂函数的概念、解析式 由题意得m² - m - 1 = 1,解得m = 2或m = -1.

13. $ f ( x ) = \log _ { 2 } ( 4 x ) · \log _ { \frac { 1 } { 4 } } \frac { x } { 2 } $，$ x \in \left[ \frac { 1 } { 2 }, 4 \right] $ 的最大值为$\frac{9}{8}$.

答案： 13.$\frac{9}{8}$ [解析] 本题考查函数的最值、对数的运算性质 f(x)=(log₂4 + log₂x)·(−$\frac{1}{2}$log₂$\frac{x}{2}$)=(2 + log₂x)·[−$\frac{1}{2}$(log₂x - 1)],令t = log₂x,因为x∈[$\frac{1}{2}$, 4],所以t∈[−1, 2],则f(x)可转化为g(t)=(2 + t)·[−$\frac{1}{2}$(t - 1)]=−$\frac{1}{2}$t² - $\frac{1}{2}$t + 1=−$\frac{1}{2}$(t + $\frac{1}{2}$)² + $\frac{9}{8}$,当t = −$\frac{1}{2}$时,g(t)max=$\frac{9}{8}$,所以当x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$时,f(x)取得最大值$\frac{9}{8}$.
名师点评
本题考查与二次函数有关的复合函数值域的求解问题,处理此类问题的思路是先利用换元法将函数转化为二次函数的形式,再利用二次函数值域的求解方法求得结果.

14. 已知函数 $ f ( x ) = x ^ { 2 } + m x + n ( m, n \in \mathbf { R } ) $，记集合 $ A = \{ x | f ( x ) \leqslant 0 \} $，$ B = \{ x | f ( f ( x ) + 2 ) \leqslant 0 \} $，若 $ A = B \neq \varnothing $，则实数 $ m $ 的取值范围是[−4, 0].

答案： 14.[−4, 0] [解析] 本题考查二次函数的性质 因为A = B≠∅,所以m² - 4n≥0,设x² + mx + n = 0的两个根为x₁,x₂,且x₁≤ x₂,则x₁ + x₂ = -m,x₁x₂ = n,A = {x|f(x)≤0} = {x|x₁≤ x≤ x₂},由f(f(x) + 2)≤0得x₁≤ f(x) + 2≤ x₂,即x₁ - 2≤ f(x)≤ x₂ - 2,由于A = B,则x₂ - 2 = 0,且x₁ - 2≤$\frac{4n - m²}{4}$($\frac{4n - m²}{4}$为二次函数f(x)的最小值).由x₂ - 2 = 0,得x₂ = 2,因此有x₁ + 2 = -m,2x₁ = n,所以n = -2m - 4①,将①式代入m² - 4n≥0得m² + 8m + 16≥0,此式恒成立,将①式代入x₁ - 2≤$\frac{4n - m²}{4}$得-m - 4≤$\frac{-8m - 16 - m²}{4}$,解得-4≤ m≤0.
方法技巧
通过不等式f(x)≤0的解集为{x|x₁≤ x≤ x₂}得出x₁≤ f(x) + 2≤ x₂,然后利用集合相等得出x₁,x₂,m,n之间的关系,从而求得参数m的取值范围.

15. (13 分) 设集合 $ A = \{ x | x ^ { 2 } - a x + a ^ { 2 } - 19 = 0 \} $，$ B = \{ x | x ^ { 2 } - 5 x + 6 = 0 \} $，$ C = \{ x | x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0 \} $.
(1) 若 $ A \cap B = A \cup B $，求实数 $ a $ 的值；
(2) 若 $ A \cap B \neq \varnothing $ 且 $ A \cap C = \varnothing $，求实数 $ a $ 的值.

答案： 15.[解析] 本题考查集合的包含关系的判断及应用、交集运算、集合的相等
(1)由题可得B = {x|x² - 5x + 6 = 0} = {2, 3},由A∩B = A∪B,得A = B,从而2,3是方程x² - ax + a² - 19 = 0的两个根,即$\begin{cases}2 + 3 = a \\2×3 = a² - 19\end{cases}$,解得a = 5.
(2)B = {2, 3},C = {x|x² - 2x - 3 = 0} = {-1, 3}.因为A∩B≠∅,且A∩C = ∅,所以2∈A,即4 - 2a + a² - 19 = 0,即a² - 2a - 15 = 0,解得a = 5或a = -3.当a = 5时,A = {2, 3},则A∩C≠∅,不符合题意;当a = -3时,A = {-5, 2},则A∩B = {2}且A∩C = ∅,故a = -3符合题意.
综上,实数a的值为 -3.