《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

16. （15 分）已知函数 $f(x)=4\cos x·\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1$.
（1）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值.

答案： 16.[解析] 本题考查正弦型函数的周期和最值
(1)因为f(x)=4cos x sin(x+$\frac{\pi}{6}$)-1=4cos x($\frac{\sqrt{3}}{2}$sin x+$\frac{1}{2}$cos x)-1=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin(2x+$\frac{\pi}{6}$)，所以f(x)的最小正周期为$\frac{2\pi}{2}$=π。
(2)因为-$\frac{\pi}{6}$≤x≤$\frac{\pi}{4}$，所以-$\frac{\pi}{6}$≤2x+$\frac{\pi}{6}$≤$\frac{2\pi}{3}$。当2x+$\frac{\pi}{6}$=$\frac{\pi}{2}$，即x=$\frac{\pi}{6}$时，f(x)取得最大值2；当2x+$\frac{\pi}{6}$=-$\frac{\pi}{6}$，即x=-$\frac{\pi}{6}$时，f(x)取得最小值-1。

17. （15 分）已知函数 $f(x)=\sin2x + 2$，$g(x)=f(x)+2\sqrt{3}\cos^{2}x-\sqrt{3}$.
（1）若角 $\theta$ 满足 $\tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}=3$，求 $f(\theta)$；
（2）若圆心角为 $\theta$，半径为 2 的扇形的弧长为 $L$，且 $g(\theta)=2$，$\theta\in(0,\pi)$，求 $L$.

答案： 17.[解析] 本题考查三角恒等变换、扇形的弧长公式
(1)因为tanθ+$\frac{1}{\tan\theta}$=$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$+$\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$=$\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$=$\frac{2}{\sin2\theta}$=3，所以sin2θ=$\frac{2}{3}$，所以f(θ)=sin2θ+2=$\frac{8}{3}$。
(2)因为g(x)=sin2x+2+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+2=2+2sin(2x+$\frac{\pi}{3}$)，所以g(θ)=2+2sin(2θ+$\frac{\pi}{3}$)=2，所以sin(2θ+$\frac{\pi}{3}$)=0，因为θ∈(0,π)，所以θ=$\frac{\pi}{3}$或$\frac{5\pi}{6}$。所以L=2θ=$\frac{2\pi}{3}$或$\frac{5\pi}{3}$。