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2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
18. (17 分)2021 年 3 月 1 日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励了国内科技巨头加大科技研发投入的力度. 根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为 50 万元，每生产 1 万只还需另投入 20 万元. 若该公司一年内共生产该款运动手环 $ x $ 万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为 $ R(x) $ 万元，且 $ R(x) = \begin{cases} 100 - kx,0 \lt x \leq 20, \\ \frac{2100}{x} - \frac{9000k}{x^{2}},x \gt 20. \end{cases} $ 当该公司一年内共生产该款运动手环 5 万只并全部销售完时，年利润为 300 万元.
(1) 求出 $ k $ 的值并写出年利润 $ W $（单位：万元）关于年产量 $ x $（单位：万只）的函数解析式 $ W(x) $；
(2) 当年产量为多少万只时，公司生产该款运动手环所获得的利润最大？并求出最大利润.
(1) 求出 $ k $ 的值并写出年利润 $ W $（单位：万元）关于年产量 $ x $（单位：万只）的函数解析式 $ W(x) $；
(2) 当年产量为多少万只时，公司生产该款运动手环所获得的利润最大？并求出最大利润.
答案：
18. [解析] 本题考查实际生活中的函数应用以及利用基本不等式求最值
(1)由题意可得$W ( x ) = x R ( x ) - 2 0 x - 5 0$,当$x = 5$时,$R ( 5 ) = 1 0 0 - 5 k$,所以$W ( 5 ) = 5 R ( 5 ) -$$2 0 × 5 - 5 0 = 5 0 0 - 2 5 k - 1 5 0 = 3 5 0 - 2 5 k = 3 0 0$,解得$k = 2$,所以$R ( x ) = \begin{cases} 1 0 0 - 2 x , 0 ＜ x \leqslant 2 0 , \\ \frac { 2 1 0 0 } { x } - \frac { 1 8 0 0 0 } { x ^ { 2 } } , x ＞ 2 0 , \end{cases}$故$W ( x ) = x R ( x ) - 2 0 x - 5 0 = \begin{cases} - 2 x ^ { 2 } + 8 0 x - 5 0 , 0 ＜ x \leqslant 2 0 , \\ 2 0 5 0 - 2 0 x - \frac { 1 8 0 0 0 } { x } , x ＞ 2 0 . \end{cases}$
(2)当$0 ＜ x \leqslant 2 0$时,$W ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 8 0 x - 5 0$,$y =$$- 2 x ^ { 2 } + 8 0 x - 5 0$的图象的对称轴为直线$x = 2 0$,所以当$x = 2 0$时,$W ( x )$取得最大值,故$W ( x ) _ { \max } =$$W ( 2 0 ) = - 2 × 2 0 ^ { 2 } + 8 0 × 2 0 - 5 0 = 7 5 0$.当$x ＞ 2 0$时,$W ( x ) = 2 0 5 0 - 2 0 x - \frac { 1 8 0 0 0 } { x } = 2 0 5 0 -$$2 0 ( x + \frac { 9 0 0 } { x } ) \leqslant 2 0 5 0 - 2 0 × 2 \sqrt { x · \frac { 9 0 0 } { x } } = 8 5 0$,当且仅当$x = \frac { 9 0 0 } { x }$,即$x = 3 0$时等号成立,所以当$x =$$3 0$时,$W ( x )$取得最大值$8 5 0$.因为$8 5 0 ＞ 7 5 0$,所以当年产量为$3 0$万只时,公司生产该款运动手环所获得的利润最大,最大利润为$8 5 0$万元.
(1)由题意可得$W ( x ) = x R ( x ) - 2 0 x - 5 0$,当$x = 5$时,$R ( 5 ) = 1 0 0 - 5 k$,所以$W ( 5 ) = 5 R ( 5 ) -$$2 0 × 5 - 5 0 = 5 0 0 - 2 5 k - 1 5 0 = 3 5 0 - 2 5 k = 3 0 0$,解得$k = 2$,所以$R ( x ) = \begin{cases} 1 0 0 - 2 x , 0 ＜ x \leqslant 2 0 , \\ \frac { 2 1 0 0 } { x } - \frac { 1 8 0 0 0 } { x ^ { 2 } } , x ＞ 2 0 , \end{cases}$故$W ( x ) = x R ( x ) - 2 0 x - 5 0 = \begin{cases} - 2 x ^ { 2 } + 8 0 x - 5 0 , 0 ＜ x \leqslant 2 0 , \\ 2 0 5 0 - 2 0 x - \frac { 1 8 0 0 0 } { x } , x ＞ 2 0 . \end{cases}$
(2)当$0 ＜ x \leqslant 2 0$时,$W ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 8 0 x - 5 0$,$y =$$- 2 x ^ { 2 } + 8 0 x - 5 0$的图象的对称轴为直线$x = 2 0$,所以当$x = 2 0$时,$W ( x )$取得最大值,故$W ( x ) _ { \max } =$$W ( 2 0 ) = - 2 × 2 0 ^ { 2 } + 8 0 × 2 0 - 5 0 = 7 5 0$.当$x ＞ 2 0$时,$W ( x ) = 2 0 5 0 - 2 0 x - \frac { 1 8 0 0 0 } { x } = 2 0 5 0 -$$2 0 ( x + \frac { 9 0 0 } { x } ) \leqslant 2 0 5 0 - 2 0 × 2 \sqrt { x · \frac { 9 0 0 } { x } } = 8 5 0$,当且仅当$x = \frac { 9 0 0 } { x }$,即$x = 3 0$时等号成立,所以当$x =$$3 0$时,$W ( x )$取得最大值$8 5 0$.因为$8 5 0 ＞ 7 5 0$,所以当年产量为$3 0$万只时,公司生产该款运动手环所获得的利润最大,最大利润为$8 5 0$万元.
19. (17 分)已知函数 $ f(x) = x|x - 2m|,m \in \mathbf{R} $.
(1) 讨论 $ f(x) $ 的单调性（只要求写出正确结论）；
(2) 若函数 $ F(x) = f(x) + 4m^{2} $ 在 $ [2,4] $ 上的最小值为 12，求实数 $ m $ 的值.
(1) 讨论 $ f(x) $ 的单调性（只要求写出正确结论）；
(2) 若函数 $ F(x) = f(x) + 4m^{2} $ 在 $ [2,4] $ 上的最小值为 12，求实数 $ m $ 的值.
答案：
19. [解析] 本题考查分类讨论求函数的单调性和最值
(1)当$m = 0$时,$f ( x )$在$\mathbf { R }$上单调递增;当$m ＞ 0$时,$f ( x )$在$( - \infty , m )$上单调递增,在$( m , 2 m )$上单调递减,在$( 2 m , + \infty )$上单调递增;当$m ＜ 0$时,$f ( x )$在$( - \infty , 2 m )$上单调递增,在$( 2 m , m )$上单调递减,在$( m , + \infty )$上单调递增.
(2)$F ( x ) = f ( x ) + 4 m ^ { 2 } = x | x - 2 m | + 4 m ^ { 2 } , x \in [ 2 , 4 ]$,当$2 m \leqslant 2$,即$m \leqslant 1$时,$x - 2 m \geqslant 0$,$F ( x ) = x ( x -$$2 m ) + 4 m ^ { 2 }$在$[ 2 , 4 ]$上单调递增,所以$F ( x ) _ { \min } = F ( 2 ) = 2 ( 2 - 2 m ) + 4 m ^ { 2 } = 1 2$,解得$m = - 1$或$m = 2$(舍去);当$2 m \geqslant 4$,即$m \geqslant 2$时,$x - 2 m \leqslant 0$,$F ( x ) = x ( 2 m -$$x ) + 4 m ^ { 2 }$,得$\begin{cases} F ( 2 ) = 2 ( 2 m - 2 ) + 4 m ^ { 2 } = 1 2 , m \geqslant 3 , \\ F ( 4 ) = 4 ( 2 m - 4 ) + 4 m ^ { 2 } = 1 2 , 2 \leqslant m ＜ 3 , \end{cases}$解得$m = \frac { - 1 \pm \sqrt { 1 7 } } { 2 }$(舍去),$m = - 1 \pm 2 \sqrt { 2 }$(舍去);所以$F ( x ) _ { \min } = F ( 2 m ) = 4 m ^ { 2 } = 1 2$,解得$m = \sqrt { 3 }$或$m = - \sqrt { 3 }$(舍去).综上,$m = - 1$或$m = \sqrt { 3 }$.
(1)当$m = 0$时,$f ( x )$在$\mathbf { R }$上单调递增;当$m ＞ 0$时,$f ( x )$在$( - \infty , m )$上单调递增,在$( m , 2 m )$上单调递减,在$( 2 m , + \infty )$上单调递增;当$m ＜ 0$时,$f ( x )$在$( - \infty , 2 m )$上单调递增,在$( 2 m , m )$上单调递减,在$( m , + \infty )$上单调递增.
(2)$F ( x ) = f ( x ) + 4 m ^ { 2 } = x | x - 2 m | + 4 m ^ { 2 } , x \in [ 2 , 4 ]$,当$2 m \leqslant 2$,即$m \leqslant 1$时,$x - 2 m \geqslant 0$,$F ( x ) = x ( x -$$2 m ) + 4 m ^ { 2 }$在$[ 2 , 4 ]$上单调递增,所以$F ( x ) _ { \min } = F ( 2 ) = 2 ( 2 - 2 m ) + 4 m ^ { 2 } = 1 2$,解得$m = - 1$或$m = 2$(舍去);当$2 m \geqslant 4$,即$m \geqslant 2$时,$x - 2 m \leqslant 0$,$F ( x ) = x ( 2 m -$$x ) + 4 m ^ { 2 }$,得$\begin{cases} F ( 2 ) = 2 ( 2 m - 2 ) + 4 m ^ { 2 } = 1 2 , m \geqslant 3 , \\ F ( 4 ) = 4 ( 2 m - 4 ) + 4 m ^ { 2 } = 1 2 , 2 \leqslant m ＜ 3 , \end{cases}$解得$m = \frac { - 1 \pm \sqrt { 1 7 } } { 2 }$(舍去),$m = - 1 \pm 2 \sqrt { 2 }$(舍去);所以$F ( x ) _ { \min } = F ( 2 m ) = 4 m ^ { 2 } = 1 2$,解得$m = \sqrt { 3 }$或$m = - \sqrt { 3 }$(舍去).综上,$m = - 1$或$m = \sqrt { 3 }$.
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