《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

10. 如图是某市夏季某一天的温度变化曲线（部分），若该曲线近似为函数 $ y = A\sin(\omega x + \varphi) + B(0 ＜ \varphi ＜ \pi) $ 的图象的一部分，则下列说法正确的是（ABC）

A.该函数的周期是 16
B.该函数图象的一条对称轴是直线 $ x = 14 $
C.温度变化曲线对应的函数解析式是 $ y = 10\sin(\frac{\pi}{8}x + \frac{3\pi}{4}) + 20(0 \leq x \leq 24) $
D.这一天的函数关系式也适用于第二天

答案： 10.ABC本题考查正弦型函数的性质　由题意以及函数的图象可知，A + B = 30，−A + B = 10，解得A = 10，B = 20.因为$\frac{T}{2}$ = 14 - 6（T为函数的最小正周期），所以T = 16，所以A正确.易知B正确.因为T = $\frac{2\pi}{|\omega|}$，所以ω = ± $\frac{\pi}{8}$.当ω = $\frac{\pi}{8}$时，y = 10 sin($\frac{\pi}{8}$x + φ) + 20，因为图象经过点(14, 30)，所以30 = 10 sin($\frac{\pi}{8}$ × 14 + φ) + 20，所以sin($\frac{\pi}{8}$ × 14 + φ) = 1，所以φ = −$\frac{5}{4}$π + 2kπ，k∈Z.因为0 ＜ φ ＜ π，所以φ = $\frac{3\pi}{4}$，所以y = 10 sin($\frac{\pi}{8}$x + $\frac{3\pi}{4}$) + 20；当ω = −$\frac{\pi}{8}$时，y = 10 sin(−$\frac{\pi}{8}$x + φ) + 20，把(14, 30)代入得sin(−$\frac{\pi}{8}$ × 14 + φ) = 1，所以φ = $\frac{9\pi}{4}$ + 2kπ，k∈Z.因为0 ＜ φ ＜ π，所以φ = $\frac{\pi}{4}$，所以y = 10 sin(−$\frac{\pi}{8}$x + $\frac{\pi}{4}$) + 20 = -10 sin($\frac{\pi}{8}$x - $\frac{\pi}{4}$) + 20 = 10 sin($\frac{\pi}{8}$x - $\frac{\pi}{4}$ + π) + 20 = 10 sin($\frac{\pi}{8}$x + $\frac{3\pi}{4}$) + 20.综上可得，温度变化曲线对应的函数解析式为y = 10 sin($\frac{\pi}{8}$x + $\frac{3\pi}{4}$) + 20 (0 ≤ x ≤ 24)，所以C正确.这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个函数关系式不一定适用，故D不正确.故选ABC.

11. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} \log_{2}x, x ＞ 0, \\ 3^{x}, x \leq 0, \end{cases} $ 关于 $ x $ 的方程 $ f(x) + x - a = 0 $ 有且只有一个实根，则实数 $ a $ 的取值是（ ）

A.$ -1 $
B.0
C.2
D.3

答案：
11.CD本题考查将方程的根转化为函数图象的交点求参数的取值范围问题　方程f(x)+x−a=0有且只有一个实根，等价于函数y=f(x)的图象与直线y=−x + a有且只有一个交点，作出两函数的图象，如图，结合函数图象可知，当a≤1时，两函数图象有两个交点，当a＞1时，两函数图象有且只有一个交点.故选CD.

12. 将函数 $ y = \sin(2x + \frac{\pi}{4}) $ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 $ \frac{\pi}{4} $ 个单位长度，所得到的图象对应的函数解析式是y=sinx.

答案： 12.y=sinx　[解析]　本题考查三角函数图象变换　函数y=sin(2x+$\frac{π}{4}$)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin(x+$\frac{π}{4}$)的图象，再向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到y=sin(x−$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$)=sinx的图象，故最终所得到的图象对应的函数解析式为y=sinx.

13. 奇函数 $ f(x) $ 是定义在 $ [-2, 2] $ 上的减函数，若 $ f(2a + 1) + f(4a - 3) ＞ 0 $，则实数 $ a $ 的取值范围是[$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$).

答案： 13.[$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$)　[解析]　本题考查抽象函数的单调性和奇偶性　由f(2a + 1) + f(4a - 3) ＞ 0得f(2a + 1) ＞ -f(4a - 3)，因为f(x)为奇函数，所以−f(4a - 3)=f(3 - 4a)，所以f(2a + 1) ＞ f(3 - 4a)，又f(x)是定义在[−2,2]上的减函数，所以$\begin{cases} 2 \geq 3 - 4a, \\ 3 - 4a ＞ 2a + 1, \\ 2a + 1 \geq -2, \end{cases}$解得$\frac{1}{4}$ ≤ a ＜ $\frac{1}{3}$，即a∈[$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$).

14. 已知函数 $ f(x) = |\sin x| - \cos x $，给出以下四个命题：
① $ f(x) $ 的图象关于 $ y $ 轴对称；
② $ f(x) $ 在 $ [-\pi, 0] $ 上是减函数；
③ $ f(x) $ 是周期函数；
④ $ f(x) $ 在 $ [-\pi, \pi] $ 上恰有三个零点.
其中真命题的序号是①③.

答案： 14.①③　[解析]　本题考查含绝对值三角函数的性质　对于①，函数f(x)=|sinx|−cosx的定义域为R，且满足f(−x)=f(x)，所以f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，①为真命题；对于②，当x∈[−π,0]时，sinx≤0，f(x)=−(sinx+cosx)=−$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)，对于y=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)，x+$\frac{π}{4}$∈[−$\frac{3π}{4}$,$\frac{π}{4}$]，易知函数y=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)在[−π,0]上先减后增，那么f(x)在[−π,0]上先增后减，②为假命题；对于③，因为f(x+2π)=|sin(x+2π)|−cos(x+2π)=|sinx|−cosx=f(x)，所以函数f(x)是周期为2π的周期函数，③为真命题；对于④，当x∈[−π,0]时，sinx≤0，f(x)=−(sinx+cosx)=−$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)，且x+$\frac{π}{4}$∈[−$\frac{3π}{4}$,$\frac{π}{4}$]，f(x)在[−π,0]上恰有一个零点，为−$\frac{π}{4}$，又由①知f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(0,π]上也恰有一个零点，为$\frac{π}{4}$，则④为假命题.

15. （13 分）已知集合 $ A = \{ x | 2 - a \leq x \leq 2 + a \} $，$ B = \{ x | x^{2} - 5x + 4 \geq 0 \} $.
（1）当 $ a = 3 $ 时，求 $ A \cap B $，$ A \cup (\complement_{\mathbf{R}}B) $；
（2）若 $ A \cap B = \varnothing $，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 15.[解析]　本题考查集合的综合运算、一元二次不等式的解法
(1)当a = 3时，A = {x | 2 - a ≤ x ≤ 2 + a} = {x | -1 ≤ x ≤ 5}，B = {x | x² - 5x + 4 ≥ 0} = {x | x ≤ 1 或 x ≥ 4}，所以A ∩ B = {x | -1 ≤ x ≤ 1 或 4 ≤ x ≤ 5}. 因为∁$_{R}$B = {x | 1 ＜ x ＜ 4}，所以A ∪ (∁$_{R}$B) = {x | -1 ≤ x ≤ 5}.
(2)当2 - a ＞ 2 + a，即a ＜ 0时，A = ∅，满足题意；当a ≥ 0时，应满足$\begin{cases} 2 - a ＞ 1, \\ 2 + a ＜ 4, \end{cases}$解得0 ≤ a ＜ 1. 综上，实数a的取值范围是(−∞,1).