《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

1. 已知命题$p:\forall x＞0$，都有$(x + 1)e^{x}＞1$.则$\neg p$为（A）
A.$\exists x_{0}＞0$，使得$(x_{0}+1)e^{x_{0}}\leq1$
B.$\forall x＞0$，总有$(x + 1)e^{x}\leq1$
C.$\forall x\leq0$，总有$(x + 1)e^{x}\leq1$
D.$\exists x_{0}\leq0$，使得$(x_{0}+1)e^{x_{0}}\leq1$

答案： 1.A 本题考查全称量词命题的否定 因为含有量词的命题的否定的步骤是：改量词，否结论，所以命题$p$：$\forall x＞0$，都有$(x+1)e^x＞1$的否定为$\exists x_0＞0$，使得$(x_0+1)e^{x_0}\leq1$.故选A.

2. 函数$f(x)=\sqrt{x + 2}+\frac{1}{x - 1}$的定义域为（C）
A.$[-2,+\infty)$
B.$(1,+\infty)$
C.$[-2,1)\cup(1,+\infty)$
D.$(-2,1)\cup(1,+\infty)$

答案： 2.C 本题考查函数的定义域 由题意得，$\begin{cases}x+2\geq0,\\x-1\neq0,\end{cases}$解得$x\geq-2$且$x\neq1$，所以函数$f(x)$的定义域为$[-2,1)\cup(1,+\infty)$.故选C.

3. 若$\alpha$为第四象限角，则（D）
A.$\cos2\alpha＞0$
B.$\cos2\alpha＜0$
C.$\sin2\alpha＞0$
D.$\sin2\alpha＜0$

答案： 3.D 本题考查三角函数值符号的判断 由$\alpha$为第四象限角，可得$\frac{3\pi}{2}+2k\pi＜\alpha＜2\pi+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，所以$3\pi+4k\pi＜2\alpha＜4\pi+4k\pi,k\in\mathbf{Z}$，此时$2\alpha$的终边落在第三象限或第四象限或$y$轴的非正半轴上，所以$\sin2\alpha＜0$.故选D.
一题多解
当$\alpha=-\frac{\pi}{6}$时，$\cos2\alpha=\cos(-\frac{\pi}{3})＞0$，故选项B错误；
当$\alpha=-\frac{\pi}{3}$时，$\cos2\alpha=\cos(-\frac{2\pi}{3})＜0$，故选项A错误；
由$\alpha$为第四象限角可得，$\sin\alpha＜0$，$\cos\alpha＞0$，则$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha＜0$，故选项C错误，选项D正确.故选D.

4. 已知$\sin(2x+\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{3}$，则$\cos(\frac{\pi}{3}-2x)=$（A）
A.$-\frac{1}{3}$
B.$-\frac{2}{9}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{7}{9}$

答案： 4.A 本题考查三角函数的诱导公式 因为$\sin(2x+\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{3}$，所以$\cos(\frac{\pi}{3}-2x)=\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}-2x)=\sin(\frac{\pi}{6}+2x)=-\frac{1}{3}$.故选A.

5. 某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少，已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为$2.25g/m^{3}$，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为$2.21g/m^{3}$，第$n$次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量$r_{n}$满足函数模型$r_{n}=r_{0}+(r_{1}-r_{0})·3^{0.25n + t}(t\in R,n\in N^{*})$，其中$r_{0}$为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，$r_{1}$为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，$n$为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过$0.25g/m^{3}$时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ C）（参考数据：$\lg2\approx0.30$，$\lg3\approx0.48$）
A.14
B.15
C.16
D.17

答案： 5.C 本题考查对数运算的实际应用 依题意，$r_0=2.25$，$r_1=2.21$，当$n=1$时，$r_1=r_0+(r_1-r_0)·3^{0.25+t}$，即$3^{0.25+t}=1$，解得$t=-0.25$，于是$r_n=2.25-0.04×3^{0.25(n - 1)}$，由$r_n\leq0.25$得$3^{0.25(n - 1)}\geq50$，则$0.25(n - 1)\geq\log_3{50}=\frac{\lg50}{\lg3}=\frac{2 - \lg2}{\lg3}$，则$n\geq4×\frac{2 - \lg2}{\lg3}+1\approx15.17$，又$n\in\mathbf{N}^*$，因此$n\geq16$，所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为16.故选C.
名师点拨
对于关系式$r_n=r_0+(r_1 - r_0)·3^{0.25n + t}(t\in\mathbf{R},n\in\mathbf{N}^*)$，已知$r_0,r_1$，依题运用特殊值$n = 1$求得函数模型中$t$的值，然后得到关于$n$的不等式，再根据对数的运算性质解不等式即可得解.

6. 函数$y=(1 - a)x$与$y=\log_{a}x$（其中$a＞1$）的图象只可能是（B）

答案： 6.B 本题考查一次函数和对数函数图象的判断 根据$a＞1$时，$y=(1 - a)x$为$\mathbf{R}$上的减函数，$y=\log_ax$为$(0,+\infty)$上的增函数，可知B正确，ACD错误.故选B.