《2025年课堂精练七年级数学上册北师大版》

6. 【数学文化】《庄子·天下》中写道：“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”(“尺”是我国传统长度单位)意思是：一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,那么$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + … + \frac{1}{2^{n}} = $____。

答案： $\frac{2^n - 1}{2^n}$

7. 观察下列等式：$1×\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$,$2×\frac{2}{3} = 2 - \frac{2}{3}$,$3×\frac{3}{4} = 3 - \frac{3}{4}$,…,完成下列任务：
(1)请写出第9个等式；
(2)猜想第$n$个等式,并说明它的正确性。

答案： 解:
(1)$9×\frac{9}{10}=9-\frac{9}{10}$
(2)猜想:$n×\frac{n}{n + 1}=n-\frac{n}{n + 1}$。
左边$=\frac{n^2}{n + 1}$,
右边$=\frac{n(n + 1)}{n + 1}-\frac{n}{n + 1}=\frac{n^2 + n - n}{n + 1}=\frac{n^2}{n + 1}$。
因为左边=右边，
所以$n×\frac{n}{n + 1}=n-\frac{n}{n + 1}$正确。

8. 【综合与实践】阶梯的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着$-5$,$-2$,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等。
尝试
(1)求前4个台阶上的数的和；
(2)求第5个台阶上的数。
应用
(3)求从下到上前31个台阶上的数的和。
发现
(4)试用含$k$($k$为正整数)的式子表示出数“1”所在台阶数。

答案： 解:
(1)$-5 - 2 + 1 + 9=3$。
(2)设第5个台阶上的数为$x$。由题意,得$-2 + 1 + 9 + x=3$,解得$x=-5$。
(3)每4个相邻台阶上的数的和为3,前31个台阶上的数的和为$7×3+(-5 - 2 + 1)=15$。
(4)发现“1”出现在每组4个数的第3个,也就是第3、第7、第11……个台阶上,且$3=4×1 - 1$,$7=4×2 - 1$,$11=4×3 - 1$,$\cdots$,所以“1”出现的台阶数为$4k - 1$。

9. 【跨学科】观察下面三种化合物的结构式及分子式,如果按其规律,那么下一种化合物的分子式应该是____。

答案： $C_4H_{10}$