《2025年课堂精练七年级数学上册北师大版》

11. 试说明不论 $ x $ 取何值,代数式 $ (x^{3} + 5x^{2} + 4x - 3) - (-x^{2} + 2x^{3} - 3x - 1) + (4 - 7x - 6x^{2} + x^{3}) $ 的值不变。

答案： 解:因为原式$=x^{3}+5x^{2}+4x-3+x^{2}-2x^{3}+3x+1+4-7x-6x^{2}+x^{3}=(1-2+1)x^{3}+(5+1-6)x^{2}+(4+3-7)x+(-3+1+4)=2$，
所以不论$x$取何值,代数式$(x^{3}+5x^{2}+4x-3)-(-x^{2}+2x^{3}-3x-1)+(4-7x-6x^{2}+x^{3})$的值不变。

12. 已知关于 $ x $,$ y $ 的多项式 $ 5x^{2} - 2xy^{2} - [3xy + 4y^{2} + (9xy - 2y^{2} - 2mxy^{2}) + 7x^{2}] - 1 $。
(1) 若该多项式不含三次项,求 $ m $ 的值；
(2) 在(1)的条件下,当 $ x^{2} + y^{2} = 13 $,$ xy = -6 $ 时,求该多项式的值。

答案： 解:
(1)原式$=-2x^{2}-2y^{2}-12xy+(-2+2m)xy^{2}-1$。
因为该多项式不含三次项,所以$-2+2m=0$，
解得$m=1$。
(2)原式$=-2x^{2}-2y^{2}-12xy-1=-2(x^{2}+y^{2})-12xy-1$。
当$x^{2}+y^{2}=13$,$xy=-6$时，
原式$=-2(x^{2}+y^{2})-12xy-1=-2×13-12×(-6)-1=45$。

13. 由于看错了符号,某学生把一个代数式减 $ -4a^{2} + 2b^{2} + 3c^{2} $ 误认为加 $ -4a^{2} + 2b^{2} + 3c^{2} $,结果得出的答案是 $ a^{2} - 4b^{2} - 2c^{2} $,求原题的正确答案。

答案： 解:原代数式$=(a^{2}-4b^{2}-2c^{2})-(-4a^{2}+2b^{2}+3c^{2})=a^{2}-4b^{2}-2c^{2}+4a^{2}-2b^{2}-3c^{2}=5a^{2}-6b^{2}-5c^{2}$。
所以原题的正确答案是$(5a^{2}-6b^{2}-5c^{2})-(-4a^{2}+2b^{2}+3c^{2})=5a^{2}-6b^{2}-5c^{2}+4a^{2}-2b^{2}-3c^{2}=9a^{2}-8b^{2}-8c^{2}$。

14. 【数学应用】有一个长方体形状的物体,它的长、宽、高分别为 $ a $,$ b $,$ c $($ a ＞ b ＞ c $)。现有三种不同的捆扎方式(如图所示的虚线),哪种方式用绳最少？哪种方式用绳最多？请说明理由。

答案： 解:甲种方式用绳最少,丙种方式用绳最多。
理由如下:甲种方式用绳的长为$4a+4b+8c$，
乙种方式用绳的长为$4a+6b+6c$,丙种方式用绳的长为$6a+6b+4c$。
因为$(4a+6b+6c)-(4a+4b+8c)=2b-2c＞0$,所以乙＞甲；
因为$(6a+6b+4c)-(4a+6b+6c)=2a-2c＞0$,所以丙＞乙。
即丙＞乙＞甲。