《2025年同步练习册河北教育出版社八年级数学上册冀教版》

6. 已知：如图,四边形$ABCD$为正方形,从顶点$A引两条射线分别交BC$,$CD于点E$,$F$,$\angle EAF = 45^{\circ}$.
求证：$BE + DF = EF$.

答案：
证明：如图，延长CD到点G，使$DG=BE$，连接AG.
∵四边形ABCD为正方形，$\therefore AB=AD,∠B=∠ADC=∠BAD=90^{\circ }.$ $\therefore ∠ADG=90^{\circ }=∠B.$ 在$\triangle ABE$和$\triangle ADG$中， $\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠B=∠ADG,\\ BE=DG,\end{array}\right. $ $\therefore \triangle ABE\cong \triangle ADG(SAS).$ $\therefore AE=AG,∠BAE=∠DAG.$ $\because ∠EAF=45^{\circ },$ $\therefore ∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }.$ $\therefore ∠EAF=∠GAF.$ 在$\triangle AEF$和$\triangle AGF$中， $\left\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array}\right. $ $\therefore \triangle AEF\cong \triangle AGF(SAS).$ $\therefore EF=GF.$ $\because GF=DG+DF=BE+DF,$ $\therefore BE+DF=EF.$

7. 在$\triangle ABC$中,$AC = BC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D是AB$的中点,$E是AB$上一点.
(1)如图①,若$BF\perp CE于点F$,$BF交CD于点G$,求证：$AE = CG$.
(2)如图②,若$AM\perp CE$,$AM交CE的延长线于点H$,交$CD的延长线于点M$,请找出图中与$BE$相等的线段,并证明.

答案：
(1)证明：
∵D是AB的中点，$\therefore AD=BD.$ 又$\because AC=BC,CD=CD,$ $\therefore \triangle ACD\cong \triangle BCD(SSS).$ $\therefore ∠ACD=∠BCD=45^{\circ },∠CAD=∠CBD=45^{\circ }.$ $\therefore ∠CAE=∠BCG.$ $\because BF⊥CE,$ $\therefore ∠BFC=90^{\circ }.$ $\therefore ∠CBG+∠BCF=90^{\circ }.$ 又$\because ∠ACE+∠BCF=90^{\circ },$ $\therefore ∠ACE=∠CBG.$ 又$\because AC=BC,$ $\therefore \triangle AEC\cong \triangle CGB(ASA).$ $\therefore AE=CG.$
(2)$CM=BE.$ 证明：由
(1)，知$∠ADC=90^{\circ },$ $\therefore ∠BEC+∠MCH=90^{\circ }.$ $\because CH⊥HM,$ $\therefore ∠CHM=90^{\circ }.$ $\therefore ∠CMA+∠MCH=90^{\circ }.$ $\therefore ∠CMA=∠BEC.$ 由
(1)，知$∠ACM=∠CBE=45^{\circ }.$ 在$\triangle CAM$和$\triangle BCE$中， $\left\{\begin{array}{l} ∠CMA=∠BEC,\\ ∠ACM=∠CBE,\\ CA=BC,\end{array}\right. $ $\therefore \triangle CAM\cong \triangle BCE(AAS).$ $\therefore CM=BE.$

8. 如图,$\triangle ABC的两条高AD与BE相交于点O$,$AD = BD$,$AC = 6$.
(1)求$BO$的长.
(2)$F是射线BC$上一点,且$CF = AO$,动点$P从点O$出发,沿线段$OB以每秒1个单位长度的速度向终点B$运动,同时动点$Q从点A$出发,沿射线$AC以每秒4$个单位长度的速度运动(点$F$,$P$,$Q$没画出). 当点$P到达点B$时,$P$,$Q$两点同时停止运动. 设运动时间为$t\ s$,当$\triangle AOP\cong \triangle FCQ$时,求$t$的值.

答案：
解：
(1)$\because ∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠AOE=90^{\circ },$ $\therefore ∠ACD=∠AOE.$ $\because ∠AOE=∠BOD,$ $\therefore ∠BOD=∠ACD.$ 又$\because ∠BDO=∠ADC=90^{\circ },AD=BD,$ $\therefore \triangle BDO\cong \triangle ADC(AAS).$ $\therefore BO=AC=6.$
(2)当点F在BC的延长线上时，如图所示. $\because CF=AO,∠AOP=∠EOD=180^{\circ }-∠DCE=∠FCQ,$
∴当$\triangle AOP\cong \triangle FCQ$时，$OP=CQ.$ $\because OP=t,CQ=6-4t,$ $\therefore t=6-4t.$ 解得$t=1.2.$ 当点F在BC之间时，如图所示. $\because CF=AO,∠AOP=∠EOD=180^{\circ }-∠DCE=∠FCQ,$
∴当$\triangle AOP\cong \triangle FCQ$时，$OP=CQ.$ $\because OP=t,CQ=4t-6,$ $\therefore t=4t-6.$ 解得$t=2.$ 综上所述，$t=1.2$或2.