《2025年同步练习册河北教育出版社八年级数学上册冀教版》

(6)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,作射线 AD,在线段 AD 及其延长线上分别取点 E,F,连接 CE,BF. 要使$\triangle BDF \cong \triangle CDE$,还需添加一个条件,这个条件可以是DE=DF,依据是SAS.

答案： DE=DF，SAS(答案不唯一)

3. (1)已知：如图,AD 平分$∠BAC$,$∠B + ∠C = 180^{\circ}$,$∠B = 90^{\circ}$.

求证：$DB = DC$.
 

答案： 证明:
(1)
∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°.又
∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∴DB=DC.
 

(2)已知：如图,AD 平分$∠BAC$,$∠ABD + ∠ACD = 180^{\circ}$,$∠ABD$为锐角.
 求证：$DB = DC$.

答案：
(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC，交AC的延长线于点F.
∴∠AED=∠AFD=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD.在△AED和△AFD中，
∵∠AED = ∠AFD，∠EAD = ∠FAD，AD = AD，
∴△AED≌△AFD(AAS).
∴DE=DF.
∵∠ABD + ∠ACD = 180°，∠ACD + ∠FCD = 180°，
∴∠ABD = ∠FCD.在△EBD和△FCD中，
∵∠BED = ∠CFD，∠EBD = ∠FCD，DE = DF，
∴△EBD≌△FCD(AAS).
∴DB=DC.

4. 将两块大小相同且均含$30^{\circ}$角的三角板($∠BAC = ∠B'A'C = 30^{\circ}$)按图①所示的方式放置,固定三角板$A'B'C$,然后将三角板 ABC 绕直角顶点 C 按顺时针方向旋转(旋转角度小于$90^{\circ}$)至图②所示的位置,AB 与$A'C$交于点 E,AC 与$A'B'$交于点 F,AB 与$A'B'$交于点 O. 求证：$\triangle BCE \cong \triangle B'CF$.

答案： 证明:
∵∠BCE + ∠ECF = ∠B'CF + ∠ECF = 90°，
∴∠BCE = ∠B'CF.在△BCE和△B'CF中，
∵∠B = ∠B'，BC = B'C，∠BCE = ∠B'CF，
∴△BCE≌△B'CF(ASA).