《2025年同步练习册河北教育出版社八年级数学上册冀教版》

5. 已知：如图,在△ABC 中,D 是边 BC 上的点,$DF \perp AB$,$DE \perp AC$,垂足分别为 F,E,且$DF = DE$,$BF = CE$.
求证：$∠B = ∠C$.

答案： 证明:
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BFD = ∠CED = 90°.在△BDF和△CDE中，
∵DF = DE，∠BFD = ∠CED，BF = CE，
∴△BDF≌△CDE(SAS).
∴∠B = ∠C.

6. 如图①,将两块全等的三角板拼在一起,使△ABC 的边 BC 在直线 l 上,$AC \perp BC$,且$AC = BC$,△EFP 的边 FP 也在直线 l 上,边 EF 与边 AC 重合,$EF \perp FP$.
(1)在图①中,请通过观察、测量,猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系.
(2)将三角板 EFP 沿直线 l 向左平移到图②所示的位置时,$CP = CQ$,EP 交 AC 于点 Q,连接 AP,BQ. 猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系,证明你的猜想.
(3)将三角板 EFP 沿直线 l 向左平移到图③所示的位置时,$CP = CQ$,EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q,连接 AP,BQ. 你认为(2)中猜想的 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系还成立吗? 若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.

答案： 解:
(1)AB = AP，AB⊥AP.
(2)BQ = AP，BQ⊥AP.证明:如图，延长BQ交AP于点G.在△BCQ和△ACP中，
∵BC = AC，∠BCQ = ∠ACP，CQ = CP，
∴△BCQ≌△ACP(SAS).
∴BQ = AP，∠CBQ = ∠CAP.
∵∠ACB = 90°，
∴∠CBQ + ∠BQC = 90°.
∵∠BQC = ∠AQG，
∴∠AQG + ∠GAQ = 90°.
∴∠AGQ = 180°−90° = 90°.
∴BQ⊥AP.
(3)成立.证明:在△BCQ和△ACP中，
∵BC = AC，∠BCQ = ∠ACP，CQ = CP，
∴△BCQ≌△ACP(SAS).
∴BQ = AP.如图，延长QB交AP于点N，则∠PBN = ∠CBQ.
∵△BCQ≌△ACP，
∴∠BQC = ∠APC.在△BCQ中，∠BQC + ∠CBQ = 90°，
∴∠APC + ∠PBN = 90°.
∴∠PNB = 90°.
∴BQ⊥AP.