《2025年同步练习册河北教育出版社八年级数学上册冀教版》

(2)写出下列命题的逆命题,并判断原命题和逆命题的真假。
①两直线平行,同位角相等。
逆命题：同位角相等，两直线平行
原命题：真命题,逆命题：真命题。
②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角。
逆命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
原命题：假命题,逆命题：真命题。
③如果 $ a = 0 $,那么 $ ab = 0 $。
逆命题：如果$ab = 0$，那么$a = 0$
原命题：真命题,逆命题：假命题。
④对于任意两数 $ a $,$ b $,如果 $ a ＜ b $,那么 $ - 2a + 1 ＞ - 2b + 1 $。
逆命题：对于任意两数$a$，$b$，如果$-2a + 1＞-2b + 1$，那么$a ＜ b$
原命题：真命题,逆命题：真命题。

答案： ①逆命题：同位角相等，两直线平行. 原命题和逆命题都是真命题.
②逆命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 原命题是假命题，逆命题是真命题.
③逆命题：如果$ab = 0$，那么$a = 0$. 原命题是真命题，逆命题是假命题.
④逆命题：对于任意两数$a$，$b$，如果$-2a + 1＞-2b + 1$，那么$a ＜ b$. 原命题和逆命题都是真命题.

(3)下列命题中,其逆命题是真命题的是①。(填序号)
①同旁内角互补,两直线平行；
②如果两个角都是直角,那么它们相等；
③如果两个有理数相等,那么它们的平方相等；
④内错角相等。

答案： ①

(4)把命题“如果直角三角形的两条直角边长分别为 $ a $,$ b $,斜边长为 $ c $,那么 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $”的逆命题改写成“如果……那么……”的形式：如果三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形.。

答案： 如果三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形.

3. 证明三角形的外角和为 $ 360^{\circ} $。

答案：
已知：如图，$\angle1$，$\angle2$，$\angle3$为$\triangle ABC$的三个外角.
求证：$\angle1+\angle2+\angle3 = 360^{\circ}$.

证明：$\because\angle1$是$\triangle ABC$的外角，
$\therefore\angle1=\angle ABC+\angle ACB$.
同理，得$\angle2=\angle ABC+\angle BAC$，$\angle3=\angle ACB+\angle BAC$.
$\therefore\angle1+\angle2+\angle3=(\angle ABC+\angle ACB)+(\angle ABC+\angle BAC)+(\angle ACB+\angle BAC)=2(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC)$.
$\because\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle1+\angle2+\angle3 = 360^{\circ}$.

4. 如图,直线 $ AB $,$ CD $ 被 $ EF $ 所截,$ \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} $,$ EM $,$ FN $ 分别平分 $ \angle BEF $ 和 $ \angle CFE $。
(1)判断 $ EM $ 与 $ FN $ 之间的位置关系,并证明你的结论。
(2)由(1)的结论我们可以得到一个命题：如果两条直线平行,那么内错角的平分线互相平行。
(3)由此可以探究并得到：如果两条直线平行,那么同旁内角的平分线互相垂直。
(1)$EM// FN$.
证明：$\because\angle1+\angle2 = 180^{\circ}$，$\angle EFD+\angle2 = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle1=\angle EFD$.
$\therefore AB// CD$.
$\therefore\angle BEF=\angle CFE$.
$\because EM$，$FN$分别平分$\angle BEF$和$\angle CFE$，
$\therefore\angle3=\angle4$.
$\therefore EM// FN$.

答案：
(1)$EM// FN$.
证明：$\because\angle1+\angle2 = 180^{\circ}$，$\angle EFD+\angle2 = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle1=\angle EFD$.
$\therefore AB// CD$.
$\therefore\angle BEF=\angle CFE$.
$\because EM$，$FN$分别平分$\angle BEF$和$\angle CFE$，
$\therefore\angle3=\angle4$.
$\therefore EM// FN$.
(2)平行；平行
(3)平行；垂直