《2025年同步练习册河北教育出版社八年级数学上册冀教版》

7. 图①是一个平分角的仪器,其中 $OD = OE$,$FD = FE$.

(1)如图②,将仪器放置在 $\triangle ABC$ 上,使点 $O$ 与顶点 $A$ 重合,点 $D$,$E$ 分别在边 $AB$,$AC$ 上,沿 $AF$ 画一条射线 $AP$,交 $BC$ 于点 $P$. $AP$ 是 $\angle BAC$ 的平分线吗? 请判断并说明理由.
(2)如图③,在(1)的条件下,过点 $P$ 作 $PQ \perp AB$ 于点 $Q$. 若 $PQ = 6$,$AC = 9$,$\triangle ABC$ 的面积为 $60$,求 $AB$ 的长.

答案：
(1)AP是∠BAC的平分线.
理由：在△ADF和△AEF中，
$\begin{cases} AD=AE\\ AF=AF\\ DF=EF \end{cases}$
∴△ADF≌△AEF(SSS).
∴∠DAF=∠EAF.
∴AP是∠BAC的平分线.
(2)
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴△APC的高等于PQ.
∵PQ=6，AC=9，
∴S△APC=$\frac {1}{2}× 6× 9=27$.
∴S△ABP=S△ABC - S△APC=60 - 27=33.
∴AB=2S△ABP÷PQ=2×33÷6=11.