《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

7. 已知抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 的顶点坐标为 $ (1, -3) $,则该抛物线对应的函数解析式为 (B)
A.$ y = x^2 - 2x + 2 $
B.$ y = x^2 - 2x - 2 $
C.$ y = -x^2 - 2x + 1 $
D.$ y = x^2 - 2x + 1 $

答案： B

8. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
(1) $ y = \frac{1}{3}(x - 5)^2 - 1 $；
(2) $ y = -4(x + 2)^2 + 1 $；
(3) $ y = 3(x - 2)^2 + 4 $；
(4) $ y = -\frac{1}{3}(x + 2)^2 - 5 $。

答案： 8.解:
(1)
∵在$y=\frac{1}{3}(x-5)^{2}-1$中,$a=\frac{1}{3}＞0$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=5$,顶点坐标为$(5,-1)$.
(2)
∵在$y=-4(x+2)^{2}+1$中,$a=-4＜0$,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线$x=-2$,顶点坐标为$(-2,1)$.
(3)
∵在$y=3(x-2)^{2}+4$中,$a=3＞0$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,4)$.
(4)
∵在$y=-\frac{1}{3}(x+2)^{2}-5$中,$a=-\frac{1}{3}＜0$,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线$x=-2$,顶点坐标为$(-2,-5)$.

1. 一般地,我们可以利用配方法求抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的顶点与对称轴,即 $ y = ax^{2}+bx + c = a(x + $$\frac{b}{2a}$$)^{2}+$$\frac{4ac - b²}{4a}$,因此,抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的对称轴是直线$x = -\frac{b}{2a}$,顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b²}{4a})$。

答案： $\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b²}{4a}$ 直线$x = -\frac{b}{2a}$ $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b²}{4a})$

2. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0,a,b,c $ 是常数)的图象：
(1) 当 $ a＞0 $ 时,抛物线开口向上。在对称轴的左侧,即当 $ x $$＜ -\frac{b}{2a}$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在对称轴的右侧,即当 $ x $$＞ -\frac{b}{2a}$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。当 $ x = $$-\frac{b}{2a}$时,函数 $ y $ 有最小值,是$\frac{4ac - b²}{4a}$。
(2) 当 $ a＜0 $ 时,抛物线开口向下。在对称轴的左侧,即当 $ x $$＜ -\frac{b}{2a}$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在对称轴的右侧,即当 $ x $$＞ -\frac{b}{2a}$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。当 $ x = $$-\frac{b}{2a}$时,函数 $ y $ 有最大值,是$\frac{4ac - b²}{4a}$。

答案：
(1)上 $＜ -\frac{b}{2a}$ 减小 $＞ -\frac{b}{2a}$ 增大 $-\frac{b}{2a}$ 小 $\frac{4ac - b²}{4a}$
(2)下 $＜ -\frac{b}{2a}$ 增大 $＞ -\frac{b}{2a}$ 减小 $-\frac{b}{2a}$ 大 $\frac{4ac - b²}{4a}$

1. 抛物线 $ y = x^{2}-x - 12 $ 与 $ y $ 轴的交点坐标为(C)
A.$ (-3,0) $
B.$ (6,0) $
C.$ (0,-12) $
D.$ (2,16) $

答案： C