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1. 一般地,式子
$b^{2}-4ac$
叫做一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$根的判别式,通常用希腊字母“△
”表示它,即$\Delta =b^{2}-4ac$
.当$△＞0$时,方程有两个不等的
实数根;当$△=0$时,方程有两个相等的
实数根,此时方程的根为$x_{1}=x_{2}=-\frac {b}{2a}$
;当$△＜0$时,方程无
实数根.反之也成立.
答案：
$b^{2}-4ac$ △ $\Delta =b^{2}-4ac$ 两个不等的 两个相等的 $x_{1}=x_{2}=-\frac {b}{2a}$ 无
2. 当一元二次方程的二次项系数中含有字母参数$a$时,必须注意$a$的取值要使二次项系数
不为0
.
答案：
不为0
1. 下列一元二次方程没有实数根的是 (
A.$x^{2}+2x+1= 0$
B.$x^{2}+x-2= 0$
C.$x^{2}+1= 0$
D.$x^{2}-2x-1= 0$
C
)A.$x^{2}+2x+1= 0$
B.$x^{2}+x-2= 0$
C.$x^{2}+1= 0$
D.$x^{2}-2x-1= 0$
答案：
C
2. (2024·高邮期末)关于$x的一元二次方程x^{2}+ax-1= 0$的根的情况是 (
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
B
)A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案：
B
3. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-2x-m= 0$有实数根,则实数$m$的取值范围是 (
A.$m≤1$
B.$m≥1$
C.$m≥-1$
D.$m≤-1$
C
)A.$m≤1$
B.$m≥1$
C.$m≥-1$
D.$m≤-1$
答案：
C
4. 请你写出:
(1) 一个有两个不同实数根的一元二次方程:
(2) 一个有两个相同实数根的一元二次方程:
(3) 一个无实数根的一元二次方程:
(1) 一个有两个不同实数根的一元二次方程:
$(x-3)(x-4)=0$
;(2) 一个有两个相同实数根的一元二次方程:
$x^{2}-2x+1=0$
;(3) 一个无实数根的一元二次方程:
$x^{2}-2x+2=0$
.
答案：
(答案不唯一)
(1)$(x-3)(x-4)=0$
(2)$x^{2}-2x+1=0$
(3)$x^{2}-2x+2=0$
(1)$(x-3)(x-4)=0$
(2)$x^{2}-2x+1=0$
(3)$x^{2}-2x+2=0$
5. 不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)$2x^{2}+3x+4= 0$;
(2)$-x^{2}+2x-1= 0$.
(1)$2x^{2}+3x+4= 0$;
(2)$-x^{2}+2x-1= 0$.
答案：
解:
(1)$\because \Delta =3^{2}-4×2×4=-23＜0,$
∴方程$2x^{2}+3x+4=0$无实数根.
(2)$\because \Delta =2^{2}-4×(-1)×(-1)=0,$
∴方程$-x^{2}+2x-1=0$有两个相等的实数根.
(1)$\because \Delta =3^{2}-4×2×4=-23＜0,$
∴方程$2x^{2}+3x+4=0$无实数根.
(2)$\because \Delta =2^{2}-4×(-1)×(-1)=0,$
∴方程$-x^{2}+2x-1=0$有两个相等的实数根.
6. 求$k$取什么实数时,关于$x的方程(k-2)x^{2}-2x+1= 0$:
(1) 有两个不相等的实数根;
(2) 有一个实数根;
(3) 没有实数根.
(1) 有两个不相等的实数根;
(2) 有一个实数根;
(3) 没有实数根.
答案：
解:
∵当$k≠2$时,$a=k-2,b=-2,c=1,$ $\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×(k-2)×1=-4k+12.$
(1)
∵方程有两个不相等的实数根, $\therefore \Delta ＞0$,且$k-2≠0$,解得$k＜3$,且$k≠2.$
(2)
∵方程有一个实数根,$\therefore k-2=0$,此时$x=\frac {1}{2},$ 即当$k=2$时,方程有一个实数根.
(3)
∵方程没有实数根, $\therefore \Delta ＜0$,且$k-2≠0$,解得$k＞3.$
∵当$k≠2$时,$a=k-2,b=-2,c=1,$ $\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×(k-2)×1=-4k+12.$
(1)
∵方程有两个不相等的实数根, $\therefore \Delta ＞0$,且$k-2≠0$,解得$k＜3$,且$k≠2.$
(2)
∵方程有一个实数根,$\therefore k-2=0$,此时$x=\frac {1}{2},$ 即当$k=2$时,方程有一个实数根.
(3)
∵方程没有实数根, $\therefore \Delta ＜0$,且$k-2≠0$,解得$k＞3.$
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