《2025年名校课堂七年级数学上册人教版山西专版》

【例 2】石家庄外国语校本经典题如图，$ C $，$ D $ 为线段 $ AB $ 上的两点，$ M $，$ N $ 分别是线段 $ AC $，$ BD $ 的中点.
（1）如果 $ CD = 5\ cm $，$ MN = 8\ cm $，求 $ AB $ 的长.
（2）如果 $ AB = a $，$ MN = b $，求 $ CD $ 的长.

答案： （1）
∵M,N分别是线段AC,BD的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC,DN=$\frac{1}{2}$BD.
∵MC+CD+DN=MN=8cm,
∴MC+DN=8−5=3(cm).
∴AC+BD=2MC+2DN=2×3=6(cm).
∴AB=AC+BD+CD=6+5=11(cm).（2）
∵M,N分别是线段AC,BD的中点，
∴CM=AM=$\frac{1}{2}$AC,BN=DN=$\frac{1}{2}$BD.
∴AM+BN=CM+DN=AB−MN=a−b.
∴CD=MN−(CM+DN)=b−(a−b)=2b−a.

3. 如图，$ C $，$ B $ 都是线段 $ AD $ 上的点，$ E $ 是线段 $ AB $ 的中点.
（1）已知 $ AD = 30\ cm $，$ BD = 6\ cm $.
① 如图 1，求线段 $ AE $ 的长.
② 如图 2，若 $ AC = \dfrac{1}{3}AD $，$ F $ 是线段 $ CD $ 的中点，求线段 $ EF $ 的长.
（2）如图 2，若 $ AC = \dfrac{1}{3}AD = a $，$ BD = b $，$ F $ 是线段 $ CD $ 的中点，用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示线段 $ EF $ 的长.

答案： 3.
(1)①
∵AD=30cm,BD=6cm,
∴AB=AD−BD=24cm.
∵E是AB的中点,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=12cm.②
∵AC=$\frac{1}{3}$AD,AD=30cm,
∴AC=10cm.
∴CD=AD−AC=20cm.
∴CE=AE−AC=12−10=2(cm).
∵F是CD的中点,
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=10cm.
∴EF=CF−CE=10−2=8(cm).
(2)
∵AC=$\frac{1}{3}$AD=a,
∴AD=3a.
∴CD=AD−AC=2a.
∵F是CD的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=a.
∵AD=3a,BD=b,
∴AB=AD−BD=3a−b.
∵E是AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3a−b}{2}$.
∴CE=AE−AC=$\frac{3a−b}{2}$−a=$\frac{a−b}{2}$.
∴EF=CF −CE=a−$\frac{a−b}{2}$=$\frac{a+b}{2}$.