《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

15. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径。我们通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地。
【发现问题】
(1) 如图1，在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中，$AB = AC$，$AE = AF$，$\angle BAC = \angle EAF = 30^{\circ}$，连接$BE$，$CF$，延长$BE$交$CF$于点$D$。则$BE$与$CF$的数量关系是______BE=CF，$\angle BDC =$______30$^{\circ}$。
【类比探究】
(2) 如图2，在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中，$AB = AC$，$AE = AF$，$\angle BAC = \angle EAF = 120^{\circ}$，连接$BE$，$CF$，延长$BE$，$FC$交于点$D$。请猜想$BE$与$CF$的数量关系及$\angle BDC$的度数，并说明理由。
【拓展延伸】
(3) 如图3，$\triangle ABC$和$\triangle AEF$均为等腰直角三角形，$\angle BAC = \angle EAF = 90^{\circ}$，连接$BE$，$CF$，且点$B$，$E$，$F$在一条直线上，过点$A$作$AM \perp BF$，垂足为点$M$。试探究$BF$，$CF$，$AM$之间的数量关系。

答案：
(1)BE=CF 30
(2)解:BE=CF,∠BDC=60°.理由如下:
∵∠BAC=∠EAF=120°,
∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE,即 ∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF,
∴△BAE≌△CAF(SAS).
∴BE=CF,∠ABE=∠ACF.
∴∠BDC=∠ACB+∠ACF−∠CBD=∠ACB+(∠ABE−∠CBD)=180°−∠BAC=60°.
(3)解:同理
(2),可证△BAE≌△CAF(SAS),
∴BE=CF.
∵在等腰直角三角形 AEF 中,AM⊥BF,
∴AM=$\frac{1}{2}$EF=EM=MF.
∴BF=BE+EF=CF+2AM.