《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

4. 如图1，边长为$a$的正方形中有一个边长为$b$的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分的面积为$S_{1}$，图2中阴影部分的面积为$S_{2}$.
(1)用含$a$和$b$的代数式表示$S_{1}$，$S_{2}$，可以验证的公式是什么？
$S_{1}=$$a^2 - b^2$，$S_{2}=$$(a + b)(a - b)$，可以验证的公式是$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
(2)依据这个公式，康康展示了“计算：$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$”的解题过程.
解：原式$=(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)$
$=(2^{8}-1)(2^{8}+1)$
$=2^{16}-1$.
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题。请仿照康康的解题过程计算：$2(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)+1$.
解：原式=$(3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) + 1$
=$(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) + 1$
=$(3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) + 1$
=$(3^8 - 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) + 1$
=$(3^{16} - 1)(3^{16} + 1) + 1$
=$3^{32} - 1 + 1$
=$3^{32}$。
(3)对数学知识要学会举一反三，请用(1)中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的整数倍.
证明：设一个奇数为$2n - 1$，则另一个相邻的奇数为$2n + 1$，
∴$(2n - 1)^2 - (2n + 1)^2$=$[(2n - 1) + (2n + 1)][(2n - 1) - (2n + 1)]$=$4n×(-2)$=$-8n$，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的整数倍。

答案： 解：
(1) 根据题意，$S_1 = a^2 - b^2$，$S_2 = (a + b)(a - b)$。
∵ $S_1 = S_2$，
∴ $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
(2) 原式 $= (3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) + 1 = (3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) + 1 = (3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) + 1 = (3^8 - 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) + 1 = (3^{16} - 1)(3^{16} + 1) + 1 = 3^{32} - 1 + 1 = 3^{32}$。
(3) 设一个奇数为 $2n - 1$，则另一个相邻的奇数为 $2n + 1$，
∴ $(2n - 1)^2 - (2n + 1)^2 = [(2n - 1) + (2n + 1)][(2n - 1) - (2n + 1)] = 4n×(-2) = -8n$，
∴ 任意两个相邻奇数的平方差必是 8 的整数倍。

智慧城堡
因式分解在生活中的运用
生活中我们经常用到密码，如电子支付密码、软件登录密码等.有一种利用因式分解产生的密码方便记忆，其原理是将一个多项式因式分解，如多项式$x^{3}+2x^{2}-x-2$可以因式分解为$(x-1)(x+1)(x+2)$，当$x=29$时，$x-1=28$，$x+1=30$，$x+2=31$，此时将这三个数组合到一起可以得到数字密码283031，302831，313028等.
(1)根据上述方法，当$x=15$，$y=5$时，多项式$x^{3}-xy^{2}$因式分解后可以得到哪些数字密码？
151020 或 152010 或 101520 或 102015 或 201510 或 201015
(2)已知一个直角三角形的周长为24，斜边长为11，其中两条直角边长分别为$x$，$y$，求出一个由多项式$x^{3}y+xy^{3}$因式分解后得到的数字密码.（写出一个即可）
24121（或12124）

答案： 解：
(1) $x^3 - xy^2 = x(x - y)(x + y)$，当 $x = 15$，$y = 5$ 时，$x - y = 10$，$x + y = 20$。可以得到的数字密码是 151020 或 152010 或 101520 或 102015 或 201510 或 201015。
(2) 由题意，得 $\begin{cases}x + y = 24 - 11 \\ x^2 + y^2 = 11^2\end{cases}$，解得 $xy = 24$。
∵ $x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$，
∴ 得到的数字密码为 24121 或 12124。