《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

2. 利用因式分解计算：$(1-\frac {1}{4})(1-\frac {1}{9})(1-\frac {1}{16})... [1-\frac {1}{(n+1)^{2}}]$.

答案： 解：
$\begin{aligned}&(1 - \frac{1}{4})(1 - \frac{1}{9})(1 - \frac{1}{16})\cdots[1 - \frac{1}{(n + 1)^2}]\\=&(1^2 - (\frac{1}{2})^2)(1^2 - (\frac{1}{3})^2)(1^2 - (\frac{1}{4})^2)\cdots[1^2 - (\frac{1}{n + 1})^2]\\=&(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{4})\cdots(1 - \frac{1}{n + 1})(1 + \frac{1}{n + 1})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{n}{n + 1}×\frac{n + 2}{n + 1}\\=&\frac{1}{2}×\frac{n + 2}{n + 1}\\=&\frac{n + 2}{2(n + 1)}\end{aligned}$
所以，原式的结果为$\frac{n + 2}{2(n + 1)}$。

3. 阅读材料，解决问题.
【材料1】根据教材，我们知道$a^{2}+2ab+b^{2}$及$a^{2}-2ab+b^{2}$这样的式子叫作完全平方式.如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.例如，分解因式：$x^{2}+2x-3$.原式$=x^{2}+2x+1-1-3=(x+1)^{2}-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$.
【材料2】因式分解：$(x+y)^{2}+2(x+y)+1$.
解：把$x+y$看成一个整体，令$x+y=A$，则原式$=A^{2}+2A+1=(A+1)^{2}$，再将$A=x+y$重新代入，得原式$=(x+y+1)^{2}$.
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法.
根据以上材料，请解答下列问题：
(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：$x^{2}-6x+8$.
解：原式=$x^2 - 6x + 9 - 9 + 8 = (x - 3)^2 - 1 = (x - 3 + 1)(x - 3 - 1) = (x - 2)(x - 4)$。
(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：$(x-y)^{2}-4(x-y)+4$.
解：设 $A = x - y$，则原式 $= A^2 - 4A + 4 = (A - 2)^2$。∴ $(x - y)^2 - 4(x - y) + 4 = (x - y - 2)^2$。
(3)当$a$，$b$，$c$分别为$\triangle ABC$的三边，且满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a-6b-4c+17=0$时，判断$\triangle ABC$的形状并说明理由.
解：$△ABC$ 是等腰三角形。理由如下：由题意，得 $a^2 - 4a + 4 + b^2 - 6b + 9 + c^2 - 4c + 4 = 0$。∴ $(a - 2)^2 + (b - 3)^2 + (c - 2)^2 = 0$。∴ $a - 2 = 0$，$b - 3 = 0$，$c - 2 = 0$。∴ $a = 2$，$b = 3$，$c = 2$。∴ $a = c$。∴ $△ABC$ 是等腰三角形。

答案： 解：
(1) $x^2 - 6x + 8 = x^2 - 6x + 9 - 9 + 8 = (x - 3)^2 - 1 = (x - 3 + 1)(x - 3 - 1) = (x - 2)(x - 4)$。
(2) 设 $A = x - y$，则原式 $= A^2 - 4A + 4 = (A - 2)^2$。
∴ $(x - y)^2 - 4(x - y) + 4 = (x - y - 2)^2$。
(3) $△ABC$ 是等腰三角形。理由如下：由题意，得 $a^2 - 4a + 4 + b^2 - 6b + 9 + c^2 - 4c + 4 = 0$。
∴ $(a - 2)^2 + (b - 3)^2 + (c - 2)^2 = 0$。
∴ $a - 2 = 0$，$b - 3 = 0$，$c - 2 = 0$。
∴ $a = 2$，$b = 3$，$c = 2$。
∴ $a = c$。
∴ $△ABC$ 是等腰三角形。