《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

18. 【概念建构】
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，直线$MN$经过点$A$，$BD\perp MN$于点$D$，$CE\perp MN$于点$E$。如图1，当直线$MN$在$\triangle ABC$外部时，称$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle CAE$是$Rt\triangle ABC$的“双外弦三角形”。如图2，当直线$MN$经过$\triangle ABC$内部时，称$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle CAE$是$Rt\triangle ABC$的“双内弦三角形”。依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CAE$。
【概念应用】
（1）如图3，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AM\perp BC$于点$M$，$AM = BM = CM$，$E$是$BC$边上的一点，$AE = DE$，$AE\perp DE$，连接$AD$，$BD$，若$AE = 2\sqrt{5}$，$AM = 4$，求$BD$的长。
小亮同学在阅读与理解“概念建构”的基础上，作$DN\perp BC$于点$N$，构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了$BD$的长。请你依照小亮的解题思路，写出解答过程。
（2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题。
如图5，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$D$是$AB$边上一点，$DE = DC$，$DE\perp DC$，$DE$交$BC$于点$N$，延长$EB$，$CD$交于点$F$，猜想$DE$，$DF$，$CN$之间的数量关系，并说明理由。
（3）如图6，$AD// BC$，$\triangle ABE$和$\triangle CDF$都是等腰直角三角形，$\angle EAB = \angle FDC = 90^{\circ}$，$AD = 2$，$BC = 5$，求$\triangle ADE$和$\triangle ADF$的面积和。

答案：
解：
(1)在题图4中，由题意，知$\triangle A E M \cong \triangle E D N$，$\therefore A M=E N$，$E M=D N$。$\because A M=B M$，$\therefore B M=E N$，即$B N+M N=E M+M N$，$\therefore E M=B N=D N$。又$\because D N \perp B C$，$\therefore \angle B N D=90^{\circ}$。在$\mathrm{Rt} \triangle A M E$中，$A E=2 \sqrt{5}$，$A M=4$，$\therefore$由勾股定理，得$M E=\sqrt{A E^{2}-A M^{2}}=2$。$\therefore D N=B N=E M=2$。在$\mathrm{Rt} \triangle B D N$中，$\because \angle B N D=90^{\circ}$，$\therefore$由勾股定理，得$B D=2 \sqrt{2}$。
(2)$D F^{2}+D E^{2}=C N^{2}$。如图，过点$E$作$E G \perp A B$，交$A B$的延长线于点$G$。由题意，得$\triangle A C D \cong \triangle G D E$。
　　　　
$\therefore A D=G E$，$A C=G D$。$\because A B=A C$，$\therefore A B=G D$，即$A D + B D=B D + B G$，$\therefore A D=B G$。$\therefore G E=B G$。$\because \angle G=90^{\circ}$，$\therefore \angle G B E=\angle G E B=\angle F B D=45^{\circ}$。$\therefore \angle F B C=90^{\circ}$。$\therefore \angle F+\angle F C B=90^{\circ}$。$\because D E \perp D C$，$\therefore \angle F D E=\angle N D C=90^{\circ}$。$\therefore \angle F+\angle F E D=90^{\circ}$。$\therefore \angle F E D=\angle F C B$。又$\because D E=D C$，$\therefore \triangle C N D \cong \triangle E F D(\mathrm{ASA})$。$\therefore C N=E F$。$\therefore$在$\mathrm{Rt} \triangle E D F$中，有$D F^{2}+D E^{2}=E F^{2}=C N^{2}$。
(3)分别过点$B$，$E$，$F$，$C$作$A D$的垂线，垂足分别为$M$，$N$，$P$，$Q$。由题意，得$\triangle E A N \cong \triangle A B M$，$\triangle D P F \cong \triangle C Q D$。$\therefore E N=A M$，$P F=Q D$。$\therefore S_{\triangle A D E}+S_{\triangle A D F}=\frac{1}{2} A D \cdot E N+\frac{1}{2} A D \cdot F P=\frac{1}{2} A D \cdot(E N + F P)=\frac{1}{2} × 2 ×(5 - 2)=3$。