《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

11. 如图，已知$\triangle ABC$，请完成以下任务：
(1) 分别作$\angle BAC$的平分线$AM$，以及$BC$的垂直平分线$l$，射线$AM$和直线$l$相交于点$N$，连接$BN$，$CN$（用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）。
(2) 用三角尺过点$N$分别画$AB$，$AC$的垂线，垂足分别为点$D$，$E$。
(3) 在(1)(2)的条件下，请猜想$\angle BAC$和$\angle BNC$的数量关系，并证明你的结论。

答案：
解:
(1)作图如图所示.

(2)如图,ND,NE 即为所作.
(3)∠BAC+∠BNC=180°.证明如下:
∵AM 平分∠BAC,ND⊥AB,NE⊥AC,
∴ND=NE,∠NDB=∠NEC=90°.又
∵直线 l 是 BC 的垂直平分线,
∴NB=NC.
∴Rt△NBD≌Rt△NCE(HL).
∴∠BND=∠CNE.
∴∠BND+∠DNC=∠CNE+∠DNC,即∠BNC=∠DNE.
∵∠BAC+∠DNE+∠NDA+∠AEN=360°,∠NDA=∠AEN=90°,
∴∠BAC+∠DNE=180°,
∴∠BAC+∠BNC=180°.

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$，过点$D$作$DE // AB$交$BC$于点$E$，作$DF \perp AB$，垂足为点$F$。
(1) 求证：$BE = DE$。
证明:∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵DE//AB,∴∠EDB=∠ABD.∴∠CBD=∠EDB.∴BE=DE.
(2) 若$DE = 2$，$DF = \sqrt{3}$，求$BD$的长。
解:∵∠C=90°,∴DC⊥BC. 又∵BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,DF⊥AB 于点 F,∴CD=DF=$\sqrt{3}$.在 Rt△CDE 中,由勾股定理,得 CE=$\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=1$. ∵ DE=EB=2,∴BC=CE+EB=3.在 Rt△CDB 中,BD=$\sqrt{CD^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+3^{2}}$=$2\sqrt{3}$.

答案：
(1)证明:
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE//AB,
∴∠EDB=∠ABD.
∴∠CBD=∠EDB.
∴BE=DE.
(2)解:
∵∠C=90°,
∴DC⊥BC. 又
∵BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,DF⊥AB 于点 F,
∴CD=DF=$\sqrt{3}$.在 Rt△CDE 中,由勾股定理,得 CE=$\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=1$.
∵ DE=EB=2,
∴BC=CE+EB=3.在 Rt△CDB 中,BD=$\sqrt{CD^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=2\sqrt{3}$.

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，以直角边$AC$为腰，向外作$\triangle ACD$，使$\angle ACD = 90^{\circ}$，$AC = CD$，点$E$是$BC$边上一点，$CE = CD$。
(1) 探究$\angle CDE$与$\angle ACB$的数量关系。
(2) 求证：$BC = CF + AB$。

答案：

(1)解:
∵CD=CE,
∴∠CED=∠CDE.
∵∠CDE+∠CED+∠ACE+∠ACD=180°,∠ACD=90°,
∴∠CED+∠CDE+∠ACB=90°.
∴∠ACB+2∠CDE=90°.
(2)证明:如图,延长 BA 至点 G,使 AG=CF,连接 CG.

∵∠BAC=90°,
∴∠CAG=90°.
∵AC=CD,∠CAG=∠DCF=90°,
∴△GAC≌△FCD(SAS).
∴∠G=∠CFD,∠ACG=∠CDF.由
(1)知,∠CED=∠CDE,
∴∠ACG=∠CED.
∵∠CFD=∠CED+∠ACB,
∴ ∠CFD= ∠G= ∠ACG + ∠ACB=∠BCG.
∴BC=BG.
∵BG=AB+AG=AB+CF,
∴BC=CF+AB.