《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

14. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，则把它们的底角顶点连接起来会形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形。
(1) 问题发现：
如图1，若$\triangle ABC$和$\triangle ADE$是顶角相等的等腰三角形，$BC$，$DE$分别是底边。
求证：$BD =$$CE$。
(2) 解决问题：
如图2，若$\triangle ACB$和$\triangle DCE$均为等腰直角三角形，$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$，点$A$，$D$，$E$在同一条直线上，$CM$为$\triangle DCE$中$DE$边上的高，连接$BE$，请判断$\angle AEB$的度数及线段$CM$，$AE$，$BE$之间的数量关系，并说明理由。
$\angle AEB=$$90^{\circ}$，线段$CM$，$AE$，$BE$之间的数量关系为$AE = BE + 2CM$。

答案：
(1)证明:
∵△ABC 和△ADE 是顶角相等的等腰三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
(2)解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由如下:
∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACD=∠BCE.
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△CDE 是等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°.
∴∠ADC=180°−∠CDE=135°.
∴∠BEC=∠ADC=135°.
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM.
∴DE=2CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.