《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

12. 在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐. 某天，小李和妈妈约定从家出发，沿相同的路线去$4km$外的健身广场，已知妈妈的步行速度是小李的$1.6$倍.
(1) 若小李先出发$30min$后，妈妈再从家出发，最终小李和妈妈同时到达健身广场，则小李步行的速度是每分多少米？
(2) 到达健身广场后，妈妈想起$30min$后公司有一个重要会议，公司距离健身广场$3.8km$. 于是妈妈立刻从健身广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以$150m/min$的速度跑步前行. 为了不迟到，妈妈至少需要跑步多少分？

答案： 解:
(1)$4km = 4000m$.设小李步行的速度是$x m/min$,则妈妈步行的速度是$1.6x m/min$,依题意,得$\frac{4000}{x} - 30 = \frac{4000}{1.6x}$.解得$x = 50$.经检验,$x = 50$是原分式方程的解,且符合题意.答:小李步行的速度是$50m/min$.
(2)$1.6x = 1.6×50 = 80(m/min)$,$3.8km = 3800m$.设妈妈需要跑步$y min$,依题意,得$150y + 80(30 - y) \geq 3800$.解得$y \geq 20$.答:妈妈至少需要跑步20min.

1. 一条高速公路的大修工程，现有甲、乙两个有资质的工程公司承接这项任务. 交通主管部门了解到，施工一天，需要支付给甲工程公司$2.8$万元工程费，支付给乙工程公司$2$万元工程费. 根据甲、乙两工程公司的施工能力，交通主管部门有三种施工方案可选择：
方案$1$：甲工程公司单独完成这项工程，刚好如期完工.
方案$2$：乙工程公司单独完成这项工程，要比规定工期多用$4$天.
方案$3$：若甲、乙两工程公司合作$3$天，余下的任务由乙工程公司单独完成，也正好如期完工.
问：在不耽误工期的情况下，哪一种施工方案最节省工程费？请说明理由.

答案： 解:方案3最节省工程费.理由如下:设这项工程规定的工期为$x$天,则$\frac{3}{x} + \frac{x}{x + 4} = 1$.解得$x = 12$.经检验,$x = 12$是原分式方程的解,且符合题意.方案1工程费:$2.8×12 = 33.6$(万元).方案2耽误工期,不符合要求.方案3工程费:$2.8×3 + 2×12 = 32.4$(万元).$\because 33.6 ＞ 32.4$,$\therefore$方案3最节省工程费.