《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，$BE\perp AC$于点$E$。求证：$\angle CBE = \angle BAD$。
证明：$\because A B=A C$，$A D$是$B C$边上的中线，$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$，$\angle C A D=\angle B A D$。又$\because B E \perp A C$，$\therefore \angle C E B=90^{\circ}$。$\therefore \angle C B E+\angle C=\angle C A D+\angle C=90^{\circ}$。$\therefore \angle C B E=\angle C A D$。$\therefore \angle C B E=\angle B A D$。

答案： 证明：$\because A B=A C$，$A D$是$B C$边上的中线，$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$，$\angle C A D=\angle B A D$。又$\because B E \perp A C$，$\therefore \angle C E B=90^{\circ}$。$\therefore \angle C B E+\angle C=\angle C A D+\angle C=90^{\circ}$。$\therefore \angle C B E=\angle C A D$。$\therefore \angle C B E=\angle B A D$。

16. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$O$是$\triangle ABC$内一点，$OD$是$AB$的垂直平分线，$OF\perp AC$，$OD = OF$。
（1）当$\angle DOF = 126^{\circ}$时，求$\angle OBC$的度数。36°
（2）判断$\triangle AOC$的形状，并证明。等腰三角形

答案： 解：
(1)$\because O D \perp A B$，$O F \perp A C$，$\therefore \angle A D O=\angle A F O=90^{\circ}$。$\therefore$易得$\angle D O F+\angle B A C=180^{\circ}$。$\because \angle D O F=126^{\circ}$，$\therefore \angle B A C=54^{\circ}$。$\because A B=A C$，$\therefore \angle A B C=\angle A C B=63^{\circ}$。$\because O D \perp A B$，$O F \perp A C$，$O D=O F$，$\therefore \angle D A O=\frac{1}{2} \angle B A C=27^{\circ}$。$\because O D$是$A B$的垂直平分线，$\therefore O A=O B$。$\therefore \angle O B A=\angle D A O=27^{\circ}$。$\therefore \angle O B C=\angle A B C - \angle O B A=63^{\circ}-27^{\circ}=36^{\circ}$。
(2)$\triangle A O C$是等腰三角形。证明如下：$\because O F=O D$，$A O=A O$，$\therefore \mathrm{Rt} \triangle A F O \cong \mathrm{Rt} \triangle A D O(\mathrm{HL})$。$\therefore A F=A D=\frac{1}{2} A B$。$\because A B=A C$，$\therefore A F=\frac{1}{2} A C$。$\because O F \perp A C$，$\therefore O F$垂直平分$A C$，$\therefore O A=O C$。$\therefore \triangle A O C$是等腰三角形。

17. 在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 2\angle ACB$，$BD$为$\triangle ABC$的角平分线。

（1）若$AB = BD$，求$\angle A$的度数。
（2）如图1，若$E$为线段$BC$上一点，$\angle DEC = \angle A$，求证：$AB = EC$。
（3）如图2，若$E$为线段$BD$上一点，$\angle DEC = \angle A$，求证：$AB = EC$。

答案：

(1)解：设$\angle C=x$。$\because \angle A B C=2 \angle C$，$\therefore \angle A B C=2 x$。$\because B D$平分$\angle A B C$，$\therefore \angle A B D=\angle C B D=x$。$\because A B=B D$，$\therefore \angle A=\angle A D B=\angle D B C+\angle C=2 x$。$\because \angle A+\angle A B C+\angle C=180^{\circ}$，$\therefore 2 x+2 x+x=180^{\circ}$，$\therefore x=36^{\circ}$。$\therefore \angle A=2 x=72^{\circ}$。
(2)证明：由
(1)知$\angle A B D=\angle D B C=\angle C$，$\therefore B D=C D$。又$\because \angle A=\angle D E C$，$\therefore \triangle A B D \cong \triangle E C D(\mathrm{AAS})$。$\therefore A B=E C$。
(3)证明：如图，以点$C$为圆心，以$C D$长为半径作圆，交$B D$的延长线于点$T$，则$C D=C T$。$\therefore \angle T=\angle C D T=\angle A D B$。由
(2)知$B D=C D$，$\therefore B D=C T$。又$\because \angle A=\angle C E T$，$\therefore \triangle A B D \cong \triangle E C T(\mathrm{AAS})$。$\therefore A B=E C$。