《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

7. 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$进行因式分解的过程：
解：设$x^{2}-4x=y$，则原式$=(y+2)(y+6)+4$（第一步）
$=y^{2}+8y+16$（第二步）
$=(y+4)^{2}$（第三步）
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$（第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C).
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将$y$用所设的含$x$的代数式代换，这个结果是否分解到最后了？否（填“是”或“否”）.如果否，则最后的结果为$(x - 2)^4$.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x+2)+1$进行因式分解.
解：设$x^{2}-2x=y$，则原式$=y(y+2)+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}=(x^{2}-2x+1)^{2}=(x-1)^{4}$。

答案：
(1) C
(2) 否 $(x - 2)^4$
(3) 解：设 $x^2 - 2x = y$，则原式 $= y(y + 2) + 1 = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 = (x^2 - 2x + 1)^2 = (x - 1)^4$。

8. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如图1，有足够多的A，B，C三种纸片：A种纸片是边长为$m$的正方形，B种纸片是边长为$n$的正方形，C种纸片是宽为$m$、长为$n$的长方形.
用A种纸片1张，B种纸片1张，C种纸片2张可以拼出（不重不漏）如图2所示的正方形.根据正方形的面积，可以解释整式乘法$(m+n)(m+n)=m^{2}+2mn+n^{2}$，反过来也可以解释多项式$m^{2}+2mn+n^{2}$因式分解的结果为$(m+n)(m+n)=(m+n)^{2}$.
依据上述积累的“数”与“形”对应关系的经验，解答下列问题：
(1)若多项式$m^{2}+3mn+2n^{2}$表示由1张A种纸片，2张B种纸片，3张C种纸片拼出的如图3所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式$m^{2}+3mn+2n^{2}$进行因式分解.
长方形的长为$m + 2n$，宽为$m + n$，多项式$m^{2}+3mn+2n^{2}$因式分解的结果为$(m + 2n)(m + n)$.
(2)我们可以借助图3再拼出一个更大的长方形，使该长方形刚好由3张A种纸片，2张B种纸片，7张C种纸片拼成，求出这个更大的长方形的面积可表示的多项式，并把该多项式因式分解.
这个更大的长方形的面积可表示的多项式为$3m^2 + 7mn + 2n^2$，该多项式因式分解的结果为$(3m + n)(m + 2n)$.

答案： 解：
(1) 由题中图 3 可知，大长方形的长 $= n + n + m = m + 2n$，大长方形的宽 $= m + n$，大长方形的面积 $= (m + 2n)(m + n) = m^2 + 3mn + 2n^2$，
∴多项式 $m^2 + 3mn + 2n^2 = (m + 2n)(m + n)$。
(2) $3m^2 + 7mn + 2n^2$；$3m^2 + 7mn + 2n^2 = (3m + n)(m + 2n)$。