《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

19. 已知一次函数$y_{1}=ax - a + 1$($a$为常数，且$a\neq 0$).
(1)若点$( - 1,3)$在一次函数$y_{1}=ax - a + 1$的图象上，求$a$的值.$-1$
(2)若当$m\leqslant x\leqslant m + 3$时，函数有最大值$M$，最小值$N$，且$M - N = 3$，求此时一次函数$y_{1}$的表达式.$y_1 = x$或$y_1 = -x + 2$
(3)对于一次函数$y_{2}=ax + 2a - 4$，若对任意实数$x$，$y_{1}＞y_{2}$都成立，求$a$的取值范围.$a ＜ \frac{5}{3}$且$a \neq 0$

答案： 解：
(1) 把点 $(-1, 3)$ 代入 $y_1 = ax - a + 1$，得 $-a - a + 1 = 3$，解得 $a = -1$。
(2) ①当 $a ＞ 0$ 时，$y_1$ 随 $x$ 的增大而增大，则当 $x = m + 3$ 时，$y$ 有最大值 $M$，$\therefore M = (m + 2)a + 1$；当 $x = m$ 时，$y$ 有最小值 $N$，$\therefore N = (m - 1)a + 1$。$\because M - N = 3$，$\therefore (m + 2)a + 1 - (m - 1)a - 1 = 3$。解得 $a = 1$。$\therefore y_1 = x$。②当 $a ＜ 0$ 时，$y_1$ 随 $x$ 的增大而减小，则当 $x = m$ 时，$y$ 有最大值 $M$，$\therefore M = (m - 1)a + 1$；当 $x = m + 3$ 时，$y$ 有最小值 $N$，$\therefore N = (m + 2)a + 1$。$\because M - N = 3$，$\therefore (m - 1)a + 1 - (m + 2)a - 1 = 3$。解得 $a = -1$。$\therefore y_1 = -x + 2$。故此时一次函数 $y_1$ 的表达式为 $y_1 = x$ 或 $y_1 = -x + 2$。
(3) $\because$ 对任意实数 $x$，$y_1 ＞ y_2$ 都成立，函数 $y_1$ 与 $y_2$ 的图象平行，$\therefore$ 函数 $y_1$ 的图象在函数 $y_2$ 的图象上方，$\therefore -a + 1 ＞ 2a - 4$。解得 $a ＜ \frac{5}{3}$。$\therefore a$ 的取值范围是 $a ＜ \frac{5}{3}$ 且 $a \neq 0$。