《2025年暑假乐园八年级理科版辽宁师范大学出版社》

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$AC = 4$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，则$BD$的长为（A）

A. $\frac{15}{7}$
B. $\frac{12}{7}$
C. $\frac{20}{7}$
D. $\frac{25}{7}$

答案： A

8. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DF \perp AB$，垂足为点$F$，$DE = DG$，$\triangle ADG$和$\triangle AED$的面积分别为$50$和$39$，则$\triangle EDF$的面积为（B）

A. $11$
B. $5.5$
C. $7$
D. $3.5$

答案： B

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB$的垂直平分线分别交$AB$和$AC$于点$D$，$E$。
(1) 求证：$AE = 2CE$。
证明:连接 BE.∵DE 是 AB 的垂直平分线,∴AE=BE.∴∠ABE=∠A=30°.∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°.在 Rt△EBC 中,BE=2CE,∴AE=2CE.
(2) 连接$CD$，请判断$\triangle BCD$的形状，并说明理由。
解:△BCD 是等边三角形.理由如下:∵DE 是 AB 的垂直平分线,∴D 为 AB 的中点.∵∠ACB=90°,∴CD=BD.∵∠ABC=60°,∴△BCD 是等边三角形.

答案：
(1)证明:连接 BE.
∵DE 是 AB 的垂直平分线,
∴AE=BE.
∴∠ABE=∠A=30°.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30°.在 Rt△EBC 中,BE=2CE,
∴AE=2CE.
(2)解:△BCD 是等边三角形.理由如下:
∵DE 是 AB 的垂直平分线,
∴D 为 AB 的中点.
∵∠ACB=90°,
∴CD=BD.
∵∠ABC=60°,
∴△BCD 是等边三角形.

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，将线段$AC$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段$AD$，连接$CD$交$AB$于点$O$，连接$BD$。
(1) 求证：$AB$垂直平分$CD$。
证明:∵线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AD,∴AD=AC,∠CAD=60°.∴△ACD 是等边三角形.∵∠BAC=30°,∴∠DAB=30°,∴∠BAC=∠DAB.∴AO⊥CD,CO=DO,∴AB 垂直平分 CD.
(2) 若$AB = 6$，求$BD$的长。
解:∵AB 垂直平分 CD,∴BD=BC. ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=$\frac{1}{2}$AB=3.∴BD=BC=3.

答案：
(1)证明:
∵线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AD,
∴AD=AC,∠CAD=60°.
∴△ACD 是等边三角形.
∵∠BAC=30°,
∴∠DAB=30°,
∴∠BAC=∠DAB.
∴AO⊥CD,CO=DO,
∴AB 垂直平分 CD.
(2)解:
∵AB 垂直平分 CD,
∴BD=BC.
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=3.
∴BD=BC=3.