《2025年君杰文化假期课堂暑假作业八年级数学沪科版》

6. 如图,菱形 $ABCD$ 中,$\angle A = 60^{\circ}$,$E$,$F$ 为菱形内两点,且 $DE \perp EF$,$BF \perp EF$. 若 $DE = 3$,$EF = 4$,$BF = 5$,则菱形 $ABCD$ 的边长为______.(提示：延长 $DE$,过点 $B$ 作 $BG \perp DE$ 于点 $G$,连接 $BD$.)

答案： 4√5

7. 如图所示,矩形 $BEDG$ 和矩形 $BNDQ$ 中,若 $BE = BN$,$DE = DN$,
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

(2) 若菱形 $ABCD$ 的周长为 $20$,$BE = 3$,求矩形 $BEDG$ 的面积.

答案：
(1)略
(2)27

8. 如图,平行四边形 $ABCD$ 中,$AD = 2AB$,$M$,$N$ 分别为 $AD$,$BC$ 的中点,$AN$,$BM$ 交于点 $P$,$CM$,$DN$ 交于点 $Q$. 求证：

(1) 四边形 $ABNM$ 为菱形；
(2) 四边形 $PNQM$ 为矩形.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，AB=CD，
∵M，N分别为AD，BC的中点，
∴AM=MD=1/2AD，BN=NC=1/2BC，
∵AD=2AB，
∴AM=AB，
∵AD//BC，AM=BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AM=AB，
∴四边形ABNM为菱形；
(2)证明：由
(1)知四边形ABNM为菱形，
∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，
∵M，N分别为AD，BC的中点，AD=BC，
∴MD=NC，MD//NC，
∴四边形MNCD是平行四边形，
∴MN//CD，MN=CD，
∵AB=CD，
∴MN=AB，
∵四边形ABNM是菱形，
∴AB=MN，AB//MN，
∴四边形ABNM和四边形MNCD都是菱形，
∴AN//MC，BM//ND，
∴四边形PNQM是平行四边形，
∵∠MPN=90°，
∴四边形PNQM为矩形.