《2025年君杰文化假期课堂暑假作业八年级数学沪科版》

8. 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$(2t + 3)^{2}-2(t - 5)^{2} = -41$；
(2)$\frac{1}{2}(x - 1)^{2}= 3x+\frac{1}{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的一般形式以及各项系数的识别。
一元二次方程的一般形式为：$ax^{2} + bx + c = 0$（$a\ne 0$），其中$ax^{2}$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于给定的两个方程，我们需要先通过展开、移项等操作将它们化为一元二次方程的一般形式，然后再识别各项系数。
【答案】：
(1)
解：首先展开方程$(2t + 3)^{2}-2(t - 5)^{2} = -41$：
$(2t + 3)^{2} = 4t^{2} + 12t + 9$，
$2(t - 5)^{2} = 2(t^{2} - 10t + 25) = 2t^{2} - 20t + 50$，
将上述两个展开式代入原方程，得：
$4t^{2} + 12t + 9 - (2t^{2} - 20t + 50) = -41$，
进一步整理，得：
$2t^{2} + 32t = 0$，
所以，二次项系数为2，一次项系数为32，常数项为0。
(2)
解：首先对方程$\frac{1}{2}(x - 1)^{2}= 3x+\frac{1}{3}$两边同时乘以6（即最小公倍数）以消去分数，得：
$3(x - 1)^{2} = 18x + 2$，
展开$(x - 1)^{2}$，得：
$3(x^{2} - 2x + 1) = 18x + 2$，
进一步整理，得：
$3x^{2} - 6x + 3 = 18x + 2$，
移项，得：
$3x^{2} - 24x + 1 = 0$，
所以，二次项系数为3，一次项系数为-24，常数项为1。

9. (1)下列式子中,有哪几个是方程$\frac{1}{2}x^{2}-x = 2$所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)
①$\frac{1}{2}x^{2}-x - 2 = 0$；②$-\frac{1}{2}x^{2}+x + 2 = 0$；③$x^{2}+2x = 4$；④$-x^{2}+2x + 4 = 0$；⑤$\sqrt{3}x^{2}-2\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}= 0$.
(2)方程$\frac{1}{2}x^{2}-x = 2$化为一元二次方程的一般形式,它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的一般形式及其系数的识别。
(1) 对于方程 $\frac{1}{2}x^{2}-x = 2$，将其转化为一般形式，即 $\frac{1}{2}x^{2}-x - 2 = 0$。
对比给定的五个式子，可以看出：
① $\frac{1}{2}x^{2}-x - 2 = 0$ 是原方程的一般形式。
② $-\frac{1}{2}x^{2}+x + 2 = 0$ 是将原方程两边同时乘以-1得到的，所以它也是原方程的一般形式。
④ $-x^{2}+2x + 4 = 0$ 是将原方程两边同时乘以-2得到的，所以它也是原方程的一般形式。
⑤ $\sqrt{3}x^{2}-2\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}= 0$ 是将原方程两边同时乘以$2\sqrt{3}$得到的，所以它也是原方程的一般形式。
而③ $x^{2}+2x = 4$ 并不是通过简单的乘法或加法从原方程得到的，所以它不是原方程的一般形式。
(2) 对于方程 $\frac{1}{2}x^{2}-x = 2$，化为一般形式为 $\frac{1}{2}x^{2}-x - 2 = 0$。
此时，二次项系数为 $\frac{1}{2}$，一次项系数为 -1，常数项为 -2。
如果我们将这个方程两边都乘以2，得到 $x^{2}-2x - 4 = 0$，此时二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-4。
如果我们都乘以-1，得到 $-\frac{1}{2}x^{2}+x + 2 = 0$，此时二次项系数为$-\frac{1}{2}$，一次项系数为1，常数项为2。
从上面的变换中，我们可以观察到：若二次项系数为a，那么一次项系数为-2a，常数项为-4a。
【答案】：
(1) ①②④⑤
(2) 若二次项系数为a，则一次项系数为-2a，常数项为-4a。