《2025年君杰文化假期课堂暑假作业八年级数学沪科版》

8. 解方程：
(1) $ x(x+3)= 7(x+3) $；
(2) $ x^{2}+5 x-6= 0 $。

答案：
(1)$x_{1}=-3$,$x_{2}=7$；
(2)$x_{1}=1$,$x_{2}=-6$

9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2(k+1) x+k^{2}= 0 $ 有两个不相等的实数根。
(1) 求 $ k $ 的取值范围；
(2) 求证：$ x= -1 $ 不可能是此方程的实数根。

答案：
(1)$\because$关于x的方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta =4(k+1)^{2}-4k^{2}＞0$,$\therefore k＞-\frac {1}{2}$.
(2)$\because$当x$=-1$时,方程左边$=1+2k+2+k^{2}=k^{2}+2k+3=$$(k+1)^{2}+2＞0$,而右边$=0$,$\therefore$左边≠右边,$\therefore x=$$-1$不可能是此方程的实数根.

10. 如果一元二次方程 $ a x^{2}+b x+c= 0 $ 的两根 $ x_{1}, x_{2} $ 均为正数,且满足 $ 1＜\frac{x_{1}}{x_{2}}＜2 $(其中 $ x_{1}＞x_{2} $),那么称这个方程有“邻近根”。判断方程 $ x^{2}-(\sqrt{3}+1) x+\sqrt{3}= 0 $ 是否有“邻近根”,并说明理由。

答案： 方程$x^{2}-(\sqrt {3}+1)x+\sqrt {3}=0$有“邻近根”,理由如下:$\because x^{2}-(\sqrt {3}+1)x+\sqrt {3}=0$,$\therefore (x-1)$$\cdot (x-\sqrt {3})=0$.$\because x_{1}＞x_{2}$,$\therefore x_{1}=\sqrt {3}$,$x_{2}=1$.这时,$x_{1}$$＞0$,$x_{2}＞0$,且$\frac {x_{1}}{x_{2}}=\sqrt {3}$.$\because 1＜\sqrt {3}＜2$,$\therefore 1＜\frac {x_{1}}{x_{2}}＜2$.$\therefore$方程$x^{2}-(\sqrt {3}+1)x+\sqrt {3}=0$有“邻近根”.