《2025年快乐过暑假江苏凤凰科学技术出版社八年级提优版》

1. 下列各式中,不能与$\sqrt{\frac{1}{2}}$合并的是(D)。
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{\frac{1}{18}}$
D.$\sqrt{0.2}$

答案： D

2. 数学活动课上,要用铁丝围一个长为$\sqrt{12}$cm、宽为$\sqrt{3}$cm的矩形框,若不考虑拼接,则需铁丝的长度为(B)。
A.$3\sqrt{3}$cm
B.$6\sqrt{3}$cm
C.$4\sqrt{3}$cm
D.$8\sqrt{3}$cm

答案： B

3. 估计$\sqrt{2}×(2\sqrt{6}-\sqrt{2})$的值应在(C)。
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间

答案： C

4. 若对实数a、b、c、d规定运算$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc,$则 = $5 \sqrt { 2 }$。

答案： 4. $5 \sqrt { 2 } $

5. 计算$\frac{\sqrt{18}+\sqrt{2}}{\sqrt{8}}$的结果是2。

答案： $2$

6. 已知$0 ＜ a ＜ 1$,且$a+\frac{1}{a}= 7$,则$\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}$的值为$-\sqrt{5}$。

答案： $-\sqrt{5}$

7. 阅读理解题：
像$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)= 1$,$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}= a(a\geq0)$,$(\sqrt{b}+1)(\sqrt{b}-1)= b - 1(b\geq0)$,两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式,例如：$\sqrt{5}和\sqrt{5}$,$(\sqrt{2}+1)和(\sqrt{2}-1)$,$(2\sqrt{3}+3\sqrt{5})和(2\sqrt{3}-3\sqrt{5})$等都是互为有理化因式,进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号,请回答下列问题：
(1)化简：①$\frac{2}{3\sqrt{2}}=$$\frac{\sqrt{2}}{3}$,②$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=$$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$；
(2)计算：$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}})(\sqrt{2024}+1)=$2023；
(3)已知$a= \sqrt{2023}-\sqrt{2022}$,$b= \sqrt{2024}-\sqrt{2023}$,$c= \sqrt{2025}-\sqrt{2024}$,试比较$a$、$b$、$c$的大小。$a\gt b\gt c$

答案： 【解析】：
(1)
① 化简$\frac{2}{3\sqrt{2}}$，为了化去分母中的根号，给分子分母同时乘以$\sqrt{2}$，则$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2×\sqrt{2}}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3×2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
② 化简$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$，给分子分母同时乘以$\sqrt{7}+\sqrt{5}$，根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，则$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7 - 5}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$。
(2)
先对$\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}$进行分母有理化，给分子分母同时乘以$\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$，可得：
$\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n})(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1})^{2}-(\sqrt{n})^{2}}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$。
则$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}$
$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$
$=\sqrt{2024}-1$。
所以$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}})(\sqrt{2024}+1)$
$=(\sqrt{2024}-1)(\sqrt{2024}+1)$
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，可得$(\sqrt{2024}-1)(\sqrt{2024}+1)=(\sqrt{2024})^{2}-1^{2}=2024 - 1 = 2023$。
(3)
对$a=\sqrt{2023}-\sqrt{2022}$进行分子有理化，给分子分母同时乘以$\sqrt{2023}+\sqrt{2022}$，则$a=\frac{(\sqrt{2023}-\sqrt{2022})(\sqrt{2023}+\sqrt{2022})}{\sqrt{2023}+\sqrt{2022}}=\frac{(\sqrt{2023})^{2}-(\sqrt{2022})^{2}}{\sqrt{2023}+\sqrt{2022}}=\frac{2023 - 2022}{\sqrt{2023}+\sqrt{2022}}=\frac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2022}}$。
同理，对$b=\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$进行分子有理化，可得$b=\frac{(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}=\frac{(\sqrt{2024})^{2}-(\sqrt{2023})^{2}}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}=\frac{2024 - 2023}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}=\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}$。
对$c=\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$进行分子有理化，可得$c=\frac{(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}=\frac{(\sqrt{2025})^{2}-(\sqrt{2024})^{2}}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}=\frac{2025 - 2024}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}=\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}$。
因为$\sqrt{2023}+\sqrt{2022}\lt\sqrt{2024}+\sqrt{2023}\lt\sqrt{2025}+\sqrt{2024}$，分子相同，分母越大，分数越小，所以$\frac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2022}}\gt\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}\gt\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}$，即$a\gt b\gt c$。
【答案】：
(1)①$\frac{\sqrt{2}}{3}$；②$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$；
(2)2023；
(3)$a\gt b\gt c$