《2025年暑假Happy假日八年级理综》

19. 如图,在平面直角坐标系中,点$A,B$分别在$x$轴,$y$轴上,线段$OA,OB$的长$(OA ＜ OB)$是方程组$\begin{cases}2x = y,\\3x - y = 6\end{cases}$的解,点$C$是直线$y = 2x$与直线$AB$的交点,点$D$在线段$OC$上,$OD = 2\sqrt{5}$.
(1)求点$C$的坐标;$(3,6)$
(2)求直线$AD$的解析式;$y=-x + 6$
(3)$P$是直线$AD$上的点,在平面内是否存在点$Q$,使以点$O,A,P,Q$为顶点的四边形是菱形. 若存在,请写出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.存在，点$Q$的坐标为$(3,3)$或$(3,-3)$

答案： 【解析】：
### $(1)$求点$C$的坐标
解方程组$\begin{cases}2x = y\\3x - y = 6\end{cases}$，
将$y = 2x$代入$3x - y = 6$，得$3x-2x = 6$，解得$x = 6$，
把$x = 6$代入$y = 2x$，得$y = 12$，
因为$OA\lt OB$，所以$OA = 6$，$OB = 12$，则$A(6,0)$，$B(0,12)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx + b$，把$A(6,0)$，$B(0,12)$代入可得$\begin{cases}6k + b = 0\\b = 12\end{cases}$，
将$b = 12$代入$6k + b = 0$，得$6k+12 = 0$，解得$k=-2$，
所以直线$AB$的解析式为$y=-2x + 12$。
联立$\begin{cases}y = 2x\\y=-2x + 12\end{cases}$，
将$y = 2x$代入$y=-2x + 12$，得$2x=-2x + 12$，
$4x = 12$，解得$x = 3$，
把$x = 3$代入$y = 2x$，得$y = 6$，所以$C(3,6)$。
### $(2)$求直线$AD$的解析式
设$D(x,2x)$，因为$OD = 2\sqrt{5}$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2}$（这里$O(0,0)$，$D(x,2x)$），则$\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\sqrt{5x^{2}}=2\sqrt{5}$，$x^{2}=4$，解得$x = 2$或$x=-2$（因为$D$在线段$OC$上，所以$x\gt0$，舍去$x = - 2$），
所以$D(2,4)$。
设直线$AD$的解析式为$y=mx + n$，把$A(6,0)$，$D(2,4)$代入可得$\begin{cases}6m + n = 0\\2m + n = 4\end{cases}$，
两式相减：$(6m + n)-(2m + n)=0 - 4$，
$6m + n-2m - n=-4$，$4m=-4$，解得$m=-1$，
把$m=-1$代入$6m + n = 0$，得$-6 + n = 0$，解得$n = 6$，
所以直线$AD$的解析式为$y=-x + 6$。
### $(3)$判断是否存在点$Q$并求其坐标
设$P(t,-t + 6)$，
**当$OA$为边时**：
若$OA// PQ$，$OA = PQ = 6$，且$AP = OQ$。
因为$OA$在$x$轴上，所以$Q$点纵坐标与$P$点纵坐标相同。
$\vert PQ\vert=\vert x_{P}-x_{Q}\vert = 6$。
由$A(6,0)$，$P(t,-t + 6)$，根据两点间距离公式$AP=\sqrt{(t - 6)^{2}+(-t + 6)^{2}}$，$OQ=\sqrt{x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2}}$。
当$x_{Q}=t+6$，$y_{Q}=-t + 6$时，因为$OQ = AP$，$\sqrt{(t + 6)^{2}+(-t + 6)^{2}}=\sqrt{(t - 6)^{2}+(-t + 6)^{2}}$，解得$t = 0$（此时$P$与$A$重合，舍去）。
当$x_{Q}=t-6$，$y_{Q}=-t + 6$时，因为$OQ = AP$，$\sqrt{(t - 6)^{2}+(-t + 6)^{2}}=\sqrt{(t - 6)^{2}+(-t + 6)^{2}}$恒成立。
又因为$OP = AQ$，$\sqrt{t^{2}+(-t + 6)^{2}}=\sqrt{(t - 6 - 6)^{2}+(-t + 6)^{2}}$，解得$t = 6$（$P$与$A$重合，舍去）。
若$OA// QP$，$OA = QP = 6$，且$OP = AQ$。
设$Q(x,y)$，则$\begin{cases}x=t+6\\y=-t + 6\end{cases}$（向量平移），因为$OP = AQ$，$\sqrt{t^{2}+(-t + 6)^{2}}=\sqrt{(t + 6 - 6)^{2}+(-t + 6-0)^{2}}$恒成立。
当$AP$为边，$AP// OQ$，$AP = OQ$，$A(6,0)$，$P(t,-t + 6)$，则$\overrightarrow{AP}=(t - 6,-t + 6)$，设$Q(x,y)$，$\overrightarrow{OQ}=(x,y)$，$\begin{cases}x=t - 6\\y=-t + 6\end{cases}$，又因为$OA = PQ$，$\sqrt{(x - t)^{2}+(y + t - 6)^{2}}=6$，代入得$\sqrt{(-6)^{2}+0^{2}}=6$恒成立，此时$Q(3,3)$（$t = 9$时，$P(9,-3)$）。
**当$OA$为对角线时**：
$OA$与$PQ$互相平分，设$Q(x,y)$，则$\frac{0 + 6}{2}=\frac{t + x}{2}$，$\frac{0+0}{2}=\frac{-t + 6 + y}{2}$，即$x = 6 - t$，$y=t - 6$，又因为$OP = AQ$，$\sqrt{t^{2}+(-t + 6)^{2}}=\sqrt{(6 - t - 6)^{2}+(t - 6-0)^{2}}$恒成立，且$OA = PQ$，$\sqrt{(6 - t - t)^{2}+(t - 6 + t - 6)^{2}}=6$，解得$t = 3$，此时$Q(3,-3)$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{C(3,6)}$；
$(2)$直线$AD$的解析式为$\boldsymbol{y=-x + 6}$；
$(3)$存在，点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(3,3)}$或$\boldsymbol{(3,-3)}$。