《2025年暑假Happy假日八年级理综》

22. 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,已知 $ OA = OC $, $ OB = OD $,过点 O 作 $ EF \perp BD $,分别交 AB,DC 于点 E,F,连接 DE,BF,AF.
(1) 求证:四边形 DEBF 是菱形;
(2) 若 $ AD // EF $, $ AD + AB = 12 $, $ BD = 4\sqrt{3} $,求 AF 的长.
(1) 证明：已知$OA = OC$，$OB = OD$，根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，则$\angle EBO=\angle FDO$。在$\triangle EBO$和$\triangle FDO$中，$\begin{cases}\angle EBO = \angle FDO\\OB = OD\\\angle BOE=\angle DOF\end{cases}$（对顶角相等），根据$ASA$定理可得$\triangle EBO\cong\triangle FDO$。所以$OE = OF$，又因为$OB = OD$，根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形$DEBF$是平行四边形。又因为$EF\perp BD$，根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以四边形$DEBF$是菱形。
(2) 解：因为$EF\perp BD$，$AD// EF$，所以$AD\perp BD$，则$\angle ADB = 90^{\circ}$。因为四边形$DEBF$是菱形，所以$DE = BE$。设$AD = x$，因为$AD + AB = 12$，所以$AB = 12 - x$。在$Rt\triangle ADB$中，根据勾股定理$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+(4\sqrt{3})^{2}=(12 - x)^{2}$，解得$x = 4$，所以$AD = 4$，$AB = 8$。因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD = 8$，$AB// CD$。因为$AD// EF$，$OA = OC$，所以$DF=\frac{1}{2}CD = 4$，则$AD = DF = 4$。因为$AD// EF$，$AB// CD$，所以四边形$AEFD$是平行四边形，又因为$AD = DF$，所以四边形$AEFD$是菱形，所以$AF\perp DE$，设$AF$与$DE$交于点$G$。因为$DE = 4$，$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}DE× AG = 4\sqrt{3}$，所以$AG = 2\sqrt{3}$，则$AF = 2AG = 4\sqrt{3}$。故$AF$的长为$4\sqrt{3}$。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$DEBF$是菱形
已知$OA = OC$，$OB = OD$，根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，则$\angle EBO=\angle FDO$。
在$\triangle EBO$和$\triangle FDO$中，$\begin{cases}\angle EBO = \angle FDO\\OB = OD\\\angle BOE=\angle DOF\end{cases}$（对顶角相等），根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle EBO\cong\triangle FDO$。
所以$OE = OF$，又因为$OB = OD$，根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形$DEBF$是平行四边形。
又因为$EF\perp BD$，根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以四边形$DEBF$是菱形。
### $(2)$ 求$AF$的长
因为$EF\perp BD$，$AD// EF$，所以$AD\perp BD$，则$\angle ADB = 90^{\circ}$。
因为四边形$DEBF$是菱形，所以$DE = BE$。
设$AD = x$，因为$AD + AB = 12$，所以$AB = 12 - x$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AE=AB - BE=AB - DE$，根据勾股定理$AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}$，又因为$DE = BE$，所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$（$BD = 4\sqrt{3}$）。
即$x^{2}+(4\sqrt{3})^{2}=(12 - x)^{2}$，展开可得：
$\begin{aligned}x^{2}+48&=144-24x+x^{2}\\24x&=144 - 48\\24x&=96\\x& = 4\end{aligned}$
所以$AD = 4$，$AB = 12 - 4 = 8$。
因为四边形$DEBF$是菱形，所以$OB = OD=\frac{1}{2}BD = 2\sqrt{3}$，$AB// CD$，$DE = BE$，$AD\perp BD$。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD = 8$，$OA = OC$。
因为$AD// EF$，$OA = OC$，所以$DF=\frac{1}{2}CD = 4$（平行线分线段成比例），则$AD = DF = 4$。
因为$AD// EF$，$AB// CD$，所以四边形$AEFD$是平行四边形，又因为$AD = DF$，所以四边形$AEFD$是菱形。
所以$AF\perp DE$，$AF$与$DE$互相平分，设$AF$与$DE$交于点$G$。
因为$DE = BE$，$AB = 8$，$AD = 4$，$BD = 4\sqrt{3}$，根据勾股定理可得$DE=\sqrt{BE^{2}-BD^{2}/4}$（$BE=(AB - AE)$，$AE = AD = 4$，$BE = 4$），$DE = 4$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AD\times BD=\frac{1}{2}\times4\times4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$，因为$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BDE}$，且$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle BDE}$（等底等高），所以$S_{\triangle ADE}=4\sqrt{3}$。
又因为$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}DE\times AG$，$DE = 4$，所以$AG = 2\sqrt{3}$，则$AF = 4\sqrt{3}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$