《2025年暑假Happy假日八年级理综》

11. 化简:$\frac {3}{\sqrt {3}}=$ $\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$

12. 计算:$6\sqrt {8}×(-2\sqrt {6})=$ $-48\sqrt{3}$.

答案： $-48\sqrt{3}$

13. $4\sqrt {5a},\sqrt {2x^{3}},\sqrt {b},\sqrt {x^{2}+y^{2}},\sqrt {4y^{2}+4y+4},\sqrt {0.5x}$以上二次根式中,最简二次根式的个数有 3个.

答案： $3$

14. 直角三角形的两条直角边长分别为$\sqrt {2}cm,\sqrt {10}cm$,则这个直角三角形的面积为 $\sqrt{5}$ $cm^{2}$.

答案： $\sqrt{5}$

15. 若点$P(x,y)$在第二象限,则化简$\sqrt {x^{2}y}$的结果是 $-x\sqrt{y}$.

答案： $-x\sqrt{y}$

16. 观察下列各式:
$\sqrt {1+\frac {1}{3}}=2\sqrt {\frac {1}{3}},$
$\sqrt {2+\frac {1}{4}}=3\sqrt {\frac {1}{4}},$
$\sqrt {3+\frac {1}{5}}=4\sqrt {\frac {1}{5}},$
……
请你将发现的规律用含自然数$n(n≥1)$的等式表示出来: $\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$（$n\geq1$）.

答案： $\sqrt{n + \frac{1}{n + 2}} = (n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$（$n\geq1$）

17. 把下列二次根式化成最简二次根式:
(1)$\sqrt {24}$;(2)$\sqrt {90}$;(3)$\sqrt {2.5}$;(4)$\sqrt {\frac {9}{2}}$.

答案： 【解析】：
（1）对于$\sqrt{24}$，先将$24$分解因数$24 = 4\times6$，根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，则$\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=\sqrt{4}\times\sqrt{6}=2\sqrt{6}$。
（2）把$90$分解因数$90 = 9\times10$，根据二次根式性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，可得$\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=\sqrt{9}\times\sqrt{10}=3\sqrt{10}$。
（3）先将$2.5$化为分数$2.5=\frac{5}{2}$，则$\sqrt{2.5}=\sqrt{\frac{5}{2}}$，根据二次根式性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，$\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，得到$\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
（4）对于$\sqrt{\frac{9}{2}}$，根据二次根式性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，可得$\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$，然后分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，得到$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：（1）$2\sqrt{6}$；（2）$3\sqrt{10}$；（3）$\frac{\sqrt{10}}{2}$；（4）$\frac{3\sqrt{2}}{2}$