《2025年暑假Happy假日八年级理综》

18. 计算:
(1)$\sqrt {48}×\frac {\sqrt {6}}{3}÷\sqrt {\frac {1}{2}}$;
(2)$\frac {\sqrt {3}}{2}÷\sqrt {\frac {1}{12}}×\sqrt {27}$;
(3)$\frac {2}{a}\sqrt {ab^{5}}\cdot (-\frac {3}{2}\sqrt {a^{3}b})÷(-\frac {1}{3}\sqrt {\frac {b}{a}})$.

答案： 【解析】：
(1)
首先，根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$，计算$\sqrt{48}\times\frac{\sqrt{6}}{3}$：
$\sqrt{48}\times\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{1}{3}\sqrt{48\times6}=\frac{1}{3}\sqrt{288}$。
然后，再根据二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，计算$\frac{1}{3}\sqrt{288}\div\sqrt{\frac{1}{2}}$：
$\frac{1}{3}\sqrt{288}\div\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{288\div\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\sqrt{288\times2}=\frac{1}{3}\sqrt{576}$。
最后，化简$\frac{1}{3}\sqrt{576}$，因为$\sqrt{576} = 24$，所以$\frac{1}{3}\times24 = 8$。
(2)
先根据二次根式的除法法则计算$\frac{\sqrt{3}}{2}\div\sqrt{\frac{1}{12}}$：
$\frac{\sqrt{3}}{2}\div\sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\sqrt{12}=\frac{1}{2}\sqrt{3\times12}=\frac{1}{2}\sqrt{36}$。
再根据二次根式的乘法法则计算$\frac{1}{2}\sqrt{36}\times\sqrt{27}$：
$\frac{1}{2}\sqrt{36}\times\sqrt{27}=\frac{1}{2}\sqrt{36\times27}=\frac{1}{2}\sqrt{972}$。
对$\sqrt{972}$进行化简，$972=324\times3$，所以$\sqrt{972}=\sqrt{324\times3}=18\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2}\times18\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
(3)
先根据二次根式的乘法法则计算$\frac{2}{a}\sqrt{a{b}^{5}}\cdot(-\frac{3}{2}\sqrt{{a}^{3}b})$：
$\frac{2}{a}\sqrt{a{b}^{5}}\cdot(-\frac{3}{2}\sqrt{{a}^{3}b})=\left[\frac{2}{a}\times(-\frac{3}{2})\right]\sqrt{a{b}^{5}\cdot{a}^{3}b}=-\frac{3}{a}\sqrt{{a}^{4}{b}^{6}}$。
因为$\sqrt{{a}^{4}{b}^{6}}=a^{2}b^{3}$，所以$-\frac{3}{a}\sqrt{{a}^{4}{b}^{6}}=- 3ab^{3}$。
再根据二次根式的除法法则计算$-3ab^{3}\div(-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}})$：
$-3ab^{3}\div(-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}})=\left[-3ab^{3}\div(-\frac{1}{3})\right]\div\sqrt{\frac{b}{a}} = 9ab^{3}\div\sqrt{\frac{b}{a}}=9ab^{3}\times\sqrt{\frac{a}{b}}$。
进一步计算$9ab^{3}\times\sqrt{\frac{a}{b}}=9ab^{3}\times\frac{\sqrt{ab}}{b}=9ab^{2}\sqrt{ab}$。
【答案】：
(1) $8$；
(2) $9\sqrt{3}$；
(3) $9ab^{2}\sqrt{ab}$

19. 已知$\sqrt {\frac {x-6}{9-x}}=\frac {\sqrt {x-6}}{\sqrt {9-x}}$,且x为奇数,求$(1+x)\sqrt {\frac {x^{2}-5x+4}{x^{2}-1}}$的值.

答案： 【解析】：
本题可先根据二次根式有意义的条件求出$x$的取值范围，再结合$x$为奇数确定$x$的值，最后将$x$的值代入式子进行化简求值。
- **步骤一：根据二次根式有意义的条件确定$x$的取值范围**
要使$\sqrt {\frac {x - 6}{9 - x}}=\frac {\sqrt {x - 6}}{\sqrt {9 - x}}$成立，则需满足$\begin{cases}x - 6\geq0\\9 - x\gt0\end{cases}$。
解不等式$x - 6\geq0$，可得$x\geq6$。
解不等式$9 - x\gt0$，移项可得$-x\gt -9$，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得到$x\lt 9$。
综合两个不等式的解，可得$6\leq x\lt 9$。
- **步骤二：结合$x$为奇数确定$x$的值**
因为$x$为奇数且$6\leq x\lt 9$，所以$x = 7$。
- **步骤三：化简$(1 + x)\sqrt {\frac {x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}}$并代入$x = 7$求值**
对$\frac {x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}$进行因式分解：
$x^2 - 5x + 4=(x - 1)(x - 4)$，$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，则$\frac {x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}=\frac{(x - 1)(x - 4)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 4}{x + 1}$（$x\neq1$）。
所以$(1 + x)\sqrt {\frac {x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}}=(1 + x)\sqrt{\frac{x - 4}{x + 1}}$。
将$x = 7$代入上式可得：
$(1 + 7)\sqrt{\frac{7 - 4}{7 + 1}}=8\sqrt{\frac{3}{8}}=8\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=8\times\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=8\times\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=8\times\frac{\sqrt{6}}{4}=2\sqrt{6}$。
【答案】：$2\sqrt{6}$

20. 已知$\sqrt {2}=a,\sqrt {20}=b$,用含a,b的式子表示$\sqrt {0.016}$$\frac{4}{5ab}$.

答案： 【解析】：
本题可先将$\sqrt{0.016}$进行变形，再结合已知条件$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{20}=b$来表示$\sqrt{0.016}$。
- **步骤一：对$\sqrt{0.016}$进行变形**
将$0.016$写成分数形式为$\frac{16}{1000}$，则$\sqrt{0.016}=\sqrt{\frac{16}{1000}}$。
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m\geq0$，$n\gt0$），可得$\sqrt{\frac{16}{1000}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{1000}}$。
因为$\sqrt{16} = 4$，所以$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{1000}}=\frac{4}{\sqrt{1000}}$。
- **步骤二：将$\sqrt{1000}$转化为与$\sqrt{2}$和$\sqrt{20}$有关的形式**
因为$1000 = 2\times20\times25$，所以$\sqrt{1000}=\sqrt{2\times20\times25}$。
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{mn}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}$（$m\geq0$，$n\geq0$），可得$\sqrt{2\times20\times25}=\sqrt{2}\times\sqrt{20}\times\sqrt{25}$。
又因为$\sqrt{25} = 5$，所以$\sqrt{2}\times\sqrt{20}\times\sqrt{25}=5\sqrt{2}\times\sqrt{20}$。
- **步骤三：用$a$、$b$表示$\sqrt{0.016}$**
将$\sqrt{1000}=5\sqrt{2}\times\sqrt{20}$代入$\frac{4}{\sqrt{1000}}$中，可得$\frac{4}{5\sqrt{2}\times\sqrt{20}}$。
已知$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{20}=b$，将其代入上式可得$\frac{4}{5ab}$。
【答案】：$\frac{4}{5ab}$