《2025年暑假Happy假日八年级理综》

20. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,E,F 分别为边 AB,CD 的中点,BD 是对角线, $ AG // DB $ 交 CB 的延长线于 G.
(1) 求证: $ \triangle ADE \cong \triangle CBF $;
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AB = CD$，$\angle A=\angle C$。又因为$E$，$F$分别为边$AB$，$CD$的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$，则$AE = CF$。在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}AD = BC\\\angle A=\angle C\\AE = CF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
(2) 若四边形 BEDF 是菱形,则四边形 AGBD 是什么特殊四边形? 并证明你的结论.
四边形 AGBD 是矩形。证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，又因为$AG// DB$，所以四边形$AGBD$是平行四边形。因为四边形$BEDF$是菱形，所以$DE = BE$。因为$E$是$AB$中点，所以$AE = BE$，则$AE = BE = DE$。所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形）。有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AGBD$是矩形。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AB = CD$，$\angle A=\angle C$。
又因为$E$，$F$分别为边$AB$，$CD$的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$，则$AE = CF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}AD = BC\\\angle A=\angle C\\AE = CF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
(2) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，又因为$AG// DB$，所以四边形$AGBD$是平行四边形。
因为四边形$BEDF$是菱形，所以$DE = BE$。
因为$E$是$AB$中点，所以$AE = BE$，则$AE = BE = DE$。
所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形）。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AGBD$是矩形。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析。
(2) 矩形，证明过程如上述解析。

21. 如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E,F 分别在线段 AD,BC 上,点 O 是 EF 与 BD 的交点. 若将 $ \triangle BED $ 沿直线 BD 折叠,则点 E 与点 F 重合.
(1) 求证:四边形 BEDF 是菱形;
(2) 若 $ ED = 2AE $, $ AB \cdot AD = 3\sqrt{3} $,求 $ EF \cdot BD $ 的值.

(1) 证明：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，则$\angle EDO=\angle FBO$。由折叠可知$BE = BF$，$DE = DF$，$\angle EOD=\angle FOB$。在$\triangle EOD$和$\triangle FOB$中，$\begin{cases}\angle EDO=\angle FBO\\\angle EOD=\angle FOB\\DE = DF\end{cases}$，根据$AAS$定理可得$\triangle EOD\cong\triangle FOB$。所以$DE = BF$，又因为$AD// BC$，所以四边形$BEDF$是平行四边形。又因为$BE = BF$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以四边形$BEDF$是菱形。
(2) $4\sqrt{3}$

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$BEDF$是菱形
- 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，则$\angle EDO=\angle FBO$。
- 由折叠可知$BE = BF$，$DE = DF$，$\angle EOD=\angle FOB$。
- 在$\triangle EOD$和$\triangle FOB$中，$\begin{cases}\angle EDO=\angle FBO\\\angle EOD=\angle FOB\\DE = DF\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle EOD\cong\triangle FOB$。
- 所以$DE = BF$，又因为$AD// BC$，所以四边形$BEDF$是平行四边形。
- 又因为$BE = BF$（或$DE = DF$），根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以四边形$BEDF$是菱形。
### $(2)$ 求$EF\cdot BD$的值
- 设$AE = x$，因为$ED = 2AE$，则$ED = 2x$，$AD=AE + ED=3x$。
- 因为四边形$BEDF$是菱形，所以$BE = ED = 2x$。
- 在矩形$ABCD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB=\sqrt{BE^{2}-AE^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$。
- 已知$AB\cdot AD = 3\sqrt{3}$，即$\sqrt{3}x\cdot3x = 3\sqrt{3}$，化简可得$3x^{2}=3$，解得$x = 1$（$x=-1$舍去）。
- 所以$AB=\sqrt{3}$，$AD = 3$，$ED = 2$。
- 根据菱形的面积公式$S=\frac{1}{2}EF\cdot BD$（对角线乘积的一半），同时菱形$BEDF$的面积还等于$AB\cdot ED$（以$AB$为高，$ED$为底）。
所以$\frac{1}{2}EF\cdot BD=AB\cdot ED$，则$EF\cdot BD = 2AB\cdot ED$。
把$AB=\sqrt{3}$，$ED = 2$代入可得$EF\cdot BD=2\times\sqrt{3}\times2 = 4\sqrt{3}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$