《2025年暑假Happy假日八年级理综》

15. 已知$x+y=-6,xy=8$,则$x\sqrt {\frac {y}{x}}+y\sqrt {\frac {x}{y}}$的值为$-4\sqrt{2}$.

答案： $-4\sqrt{2}$

16. 已知实数 a,b,c 在数轴上的对应点如图所示,化简:$2\sqrt {a^{2}}-|a-b|+|c-a|+\sqrt {(b-c)^{2}}=$$-2a - 2b + 2c$.

答案： $-2a - 2b + 2c$

17. 计算:
(1)$\sqrt {2}×\sqrt {3}-\sqrt {24}$;
(2)$(3\sqrt {12}-2\sqrt {\frac {1}{3}}+\sqrt {48})÷2\sqrt {3}$;
(3)$(2\sqrt {5}-3)^{2}$;
(4)$(2a+\sqrt {5})(2a-\sqrt {5})$;
(5)$\sqrt {48}÷\sqrt {3}-\sqrt {\frac {1}{2}}×\sqrt {12}+\sqrt {24}$.

答案： 【解析】：
(1)
先根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$计算$\sqrt{2}\times\sqrt{3}$：
$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}$。
再化简$\sqrt{24}$：
$\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}$。
最后计算$\sqrt{2}\times\sqrt{3}-\sqrt{24}$：
$\sqrt{2}\times\sqrt{3}-\sqrt{24}=\sqrt{6}-2\sqrt{6}=-\sqrt{6}$。
(2)
先分别化简括号内的二次根式：
$3\sqrt{12}=3\sqrt{4\times3}=3\times2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$；
$2\sqrt{\frac{1}{3}}=2\times\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=2\times\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$。
则括号内的值为$6\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}=(6 + 4-\frac{2}{3})\sqrt{3}=(\frac{18 + 12 - 2}{3})\sqrt{3}=\frac{28}{3}\sqrt{3}$。
再计算$(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48})\div2\sqrt{3}$：
$(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48})\div2\sqrt{3}=\frac{28}{3}\sqrt{3}\div2\sqrt{3}=\frac{28}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{14}{3}$。
(3)
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，其中$a = 2\sqrt{5}$，$b = 3$，则：
$(2\sqrt{5}-3)^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-2\times2\sqrt{5}\times3+3^{2}=20 - 12\sqrt{5}+9=29 - 12\sqrt{5}$。
(4)
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，其中$a = 2a$，$b=\sqrt{5}$，则：
$(2a+\sqrt{5})(2a-\sqrt{5})=(2a)^{2}-(\sqrt{5})^{2}=4a^{2}-5$。
(5)
先计算$\sqrt{48}\div\sqrt{3}$：
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b＞0)$，$\sqrt{48}\div\sqrt{3}=\sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$。
再计算$\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}$：
$\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{2}\times12}=\sqrt{6}$。
最后化简$\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}$。
则$\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{24}=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$。
【答案】：
(1)$-\sqrt{6}$；
(2)$\frac{14}{3}$；
(3)$29 - 12\sqrt{5}$；
(4)$4a^{2}-5$；
(5)$4+\sqrt{6}$

18. (1)已知$x_{1}=\sqrt {3}+\sqrt {2},x_{2}=\sqrt {3}-\sqrt {2}$,求$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$的值;$4\sqrt{6}$
(2)已知$x=\sqrt {5}-2$,求$(9+4\sqrt {5})x^{2}-(\sqrt {5}+2)x+4$的值.4

答案： 【解析】：
(1)
本题可先根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$对$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$进行变形，再将$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$代入计算。
- **步骤一：对$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$进行变形**
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，可得$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)$。
- **步骤二：分别计算$x_1 + x_2$与$x_1 - x_2$的值**
将$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$代入$x_1 + x_2$可得：
$x_1 + x_2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$
将$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$代入$x_1 - x_2$可得：
$x_1 - x_2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
- **步骤三：计算$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$的值**
将$x_1 + x_2 = 2\sqrt{3}$，$x_1 - x_2 = 2\sqrt{2}$代入$(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)$可得：
$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)=2\sqrt{3}\times2\sqrt{2}=4\sqrt{6}$
(2)
本题可先将$x = \sqrt{5} - 2$代入$(9 + 4\sqrt{5})x^2 - (\sqrt{5} + 2)x + 4$，再根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$进行化简计算。
- **步骤一：计算$x^2$的值**
将$x = \sqrt{5} - 2$代入$x^2$可得：
$x^2 = (\sqrt{5} - 2)^2$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
$x^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\times\sqrt{5}\times2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$
- **步骤二：将$x = \sqrt{5} - 2$，$x^2 = 9 - 4\sqrt{5}$代入原式并化简计算**
$\begin{aligned}&(9 + 4\sqrt{5})x^2 - (\sqrt{5} + 2)x + 4\\=&(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) - (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) + 4\\=&9^2 - (4\sqrt{5})^2 - [(\sqrt{5})^2 - 2^2] + 4\\=&81 - 80 - (5 - 4) + 4\\=&1 - 1 + 4\\=&4\end{aligned}$
【答案】：
(1)$4\sqrt{6}$；
(2)$4$