《2025年暑假Happy假日八年级理综》

20. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.如图,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点,依次连接各边中点得到中点四边形 EFGH.
(1)这个中点四边形 EFGH 的形状是______平行四边形______;
(2)请证明你的结论.

答案： 【解析】：
（1）连接$AC$，利用三角形中位线定理证明$EH// FG$，$EH = FG$，从而得出四边形$EFGH$是平行四边形。
（2）
- 连接$AC$。
- 因为$E$是$AB$中点，$H$是$AD$中点，根据三角形中位线定理，在$\triangle ABD$中，$EH$是中位线，所以$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
- 同理，在$\triangle BCD$中，$FG$是中位线（$F$是$BC$中点，$G$是$CD$中点），所以$FG// BD$，$FG = \frac{1}{2}BD$。
- 由$EH// BD$，$FG// BD$，可得$EH// FG$；由$EH=\frac{1}{2}BD$，$FG = \frac{1}{2}BD$，可得$EH = FG$。
- 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$EFGH$是平行四边形。
【答案】：
（1）平行四边形。

21. 如图,△ABC 是等边三角形,AD 是 BC 边上的高,点 E 在 AB 的延长线上,连接 ED,∠AED=30°,AF⊥AB 与 ED 的延长线交于点 F,连接 BF,CF,CE.
(1)求证:四边形 BECF 为平行四边形;
(2)若 AB=6,请直接写出四边形 BECF 的周长.24

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$BECF$为平行四边形
- 因为$\triangle ABC$是等边三角形，$AD\perp BC$，根据等边三角形三线合一的性质，可得$BD = CD$，$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。
- 已知$\angle AED = 30^{\circ}$，所以$\angle BAD=\angle AED$，根据等角对等边，可得$AD = ED$。
- 因为$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle BAD - \angle AED=120^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle EDB=\angle ADE-\angle ADC = 30^{\circ}$。
- 又因为$AF\perp AB$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle CAF = 30^{\circ}$，$\angle DAF = 60^{\circ}$。
- 由于$\angle ADF = \angle EDB = 30^{\circ}$（对顶角相等），在$\triangle ADF$中，$\angle F = 180^{\circ}-\angle DAF-\angle ADF = 90^{\circ}$，所以$\angle EAF=\angle F = 90^{\circ}$，则$AE// CF$。
- 在$\triangle ABD$和$\triangle FCD$中：
$\angle ADB=\angle FDC = 90^{\circ}$（对顶角相等）。
$BD = CD$（已证）。
$\angle BAD=\angle FCD = 30^{\circ}$（$\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle ACF = 30^{\circ}$）。
根据$ASA$（角边角）定理，$\triangle ABD\cong\triangle FCD$，所以$AB = CF$。
- 因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = BC$，则$BC = CF$。
- 又因为$\angle EBC=\angle BCF = 120^{\circ}$，根据内错角相等，两直线平行，可得$BE// CF$。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，$BE// CF$且$BE = CF$（$AB = BE$，$AB = CF$），所以四边形$BECF$是平行四边形。
### $(2)$ 求四边形$BECF$的周长
- 已知$AB = 6$，因为$\triangle ABC$是等边三角形，$\angle AED = 30^{\circ}$，$\angle BAD = 30^{\circ}$，所以$BE = AB = 6$。
- 由$(1)$知四边形$BECF$是平行四边形，且$BC = AB = 6$。
- 根据平行四边形周长公式$C = 2(a + b)$（$a$、$b$为邻边），这里$a = BE = 6$，$b = BC = 6$，所以四边形$BECF$的周长为$2\times(6 + 6)=24$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{24}$