《2025年暑假Happy假日八年级理综》

13. 使$\sqrt { 6 + n }$为整数的自然数$n$的最小值为3.

答案： $3$

14. 使代数式$\frac { \sqrt { 2 x - 1 } } { 3 - x }$有意义的$x$的取值范围是$x\geq\frac{1}{2}$且$x\neq3$.

答案： $x\geq\frac{1}{2}$且$x\neq3$

15. 下列各式:①$10$;②$\frac { 5 } { 4 } x$;③$5 - 3 x$;④$\sqrt { x ^ { 2 } + 9 }$;⑤$m \neq 8$;⑥$\frac { n } { 4 } - m$;⑦$2 x ＞ 9$.其中属于代数式的有①②③④⑥(填写序号).

答案： ①②③④⑥

16. 若$3$,$m$,$5$为三角形三边长,则$\sqrt { ( 2 - m ) ^ { 2 } } - \sqrt { ( m - 8 ) ^ { 2 } } =$$2m - 10$.

答案： $2m - 10$

17. 计算:
(1)$( \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } ) ^ { 2 }$;(2)$( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }$;(3)$( \frac { \sqrt { 7 } } { 3 } ) ^ { 2 }$;(4)$\sqrt { 1.5 ^ { 2 } }$;(5)$\sqrt { ( - \frac { 3 } { 4 } ) ^ { 2 } }$;(6)$\sqrt { 3 ^ { - 2 } }$.

答案： 【解析】：
1. 对于$(\sqrt{\frac{3}{5}})^2$：
根据$(\sqrt{a})^2 = a(a\geq0)$，这里$a = \frac{3}{5}$，所以$(\sqrt{\frac{3}{5}})^2=\frac{3}{5}$。
2. 对于$(2\sqrt{5})^2$：
根据$(ab)^n=a^n\times b^n$（$n$为正整数），则$(2\sqrt{5})^2 = 2^2\times(\sqrt{5})^2$。
因为$2^2 = 4$，$(\sqrt{5})^2 = 5$，所以$2^2\times(\sqrt{5})^2=4\times5 = 20$。
3. 对于$(\frac{\sqrt{7}}{3})^2$：
根据$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（$b\neq0$，$n$为正整数），则$(\frac{\sqrt{7}}{3})^2=\frac{(\sqrt{7})^2}{3^2}$。
因为$(\sqrt{7})^2 = 7$，$3^2 = 9$，所以$\frac{(\sqrt{7})^2}{3^2}=\frac{7}{9}$。
4. 对于$\sqrt{1.5^2}$：
根据$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，这里$a = 1.5\gt0$，所以$\sqrt{1.5^2}=\vert1.5\vert = 1.5$。
5. 对于$\sqrt{(-\frac{3}{4})^2}$：
根据$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，这里$a=-\frac{3}{4}$，所以$\sqrt{(-\frac{3}{4})^2}=\vert-\frac{3}{4}\vert=\frac{3}{4}$。
6. 对于$\sqrt{3^{-2}}$：
先根据负整数指数幂公式$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\neq0$，$p$为正整数），则$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
再根据$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，$\sqrt{3^{-2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\vert\frac{1}{3}\vert=\frac{1}{3}$。
【答案】：
(1)$\frac{3}{5}$；
(2)$20$；
(3)$\frac{7}{9}$；
(4)$1.5$；
(5)$\frac{3}{4}$；
(6)$\frac{1}{3}$

18. 当$x$为何值时,下列各式在实数范围内有意义?
(1)$\sqrt { x }$;(2)$\sqrt { - x }$;(3)$\sqrt { x + 2 }$;(4)$\sqrt { 1 - 2 x }$.

答案： 【解析】：本题可根据二次根式有意义的条件来确定$x$的取值范围，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
**（1）对于$\sqrt{x}$：**
要使$\sqrt{x}$在实数范围内有意义，则被开方数$x\geqslant0$。
**（2）对于$\sqrt{-x}$：**
要使$\sqrt{-x}$在实数范围内有意义，则被开方数$-x\geqslant0$，解不等式$-x\geqslant0$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$x\leqslant0$。
**（3）对于$\sqrt{x + 2}$：**
要使$\sqrt{x + 2}$在实数范围内有意义，则被开方数$x + 2\geqslant0$，解不等式$x + 2\geqslant0$，移项可得$x\geqslant - 2$。
**（4）对于$\sqrt{1 - 2x}$：**
要使$\sqrt{1 - 2x}$在实数范围内有意义，则被开方数$1 - 2x\geqslant0$，解不等式$1 - 2x\geqslant0$，移项可得$-2x\geqslant - 1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，可得$x\leqslant\frac{1}{2}$。
【答案】：（1）$x\geqslant0$；（2）$x\leqslant0$；（3）$x\geqslant - 2$；（4）$x\leqslant\frac{1}{2}$