《2025年暑假Happy假日八年级理综》

19. 二次根式$\sqrt [ a - b ] { 3 a - 4 b }$与二次根式$\sqrt { 5 }$的值相等,求$a$,$b$的值.

答案： 【解析】：
因为二次根式$\sqrt [ a - b ] { 3 a - 4 b }$与二次根式$\sqrt { 5 }$的值相等，所以$\sqrt [ a - b ] { 3 a - 4 b }$是二次根式。
根据二次根式的定义，根指数为$2$，可得$a - b = 2$ ①。
又因为两个二次根式的值相等，所以被开方数相等，即$3a - 4b = 5$ ②。
由①式可得$a = b + 2$，将其代入②式可得：
$3(b + 2)-4b = 5$，
去括号得$3b + 6 - 4b = 5$，
移项得$3b - 4b = 5 - 6$，
合并同类项得$-b = -1$，
解得$b = 1$。
把$b = 1$代入$a = b + 2$，得$a = 1 + 2 = 3$。
【答案】：$a = 3$，$b = 1$

20. 求代数式$a + \sqrt { a ^ { 2 } - 2 a + 1 }$的值,其中$a = - 2024$.下面是小亮和小芳的解答过程:
小亮:
解:原式$= a + \sqrt { ( 1 - a ) ^ { 2 } } = a + 1 - a = 1$.
小芳:
解:原式$= a + \sqrt { ( 1 - a ) ^ { 2 } } = a + a - 1 = - 4049$.
(1)小亮和小芳的解法是错误的;
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x\geq0)\\ -x(x\lt0)\end{cases}$;
(3)求代数式$a + 2 \sqrt { a ^ { 2 } - 6 a + 9 }$的值,其中$a = - 2023$.
解：原式$=a+2\sqrt{(a-3)^2}=a+2|a-3|$，因为$a=-2023$，所以$a-3=-2026\lt0$，则$|a-3|=3-a$，所以原式$=a+2(3-a)=a+6-2a=6-a=6-(-2023)=2029$，故答案为2029.

答案： 【解析】：
1. 首先分析小亮和小芳的解法：
对于$\sqrt{(1 - a)^{2}}$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x\geq0)\\ -x(x\lt0)\end{cases}$。
已知$a = - 2024$，则$1 - a=1-(-2024)=2025\gt0$，所以$\sqrt{(1 - a)^{2}}=\vert1 - a\vert = 1 - a$。
小亮的解法：原式$=a+\sqrt{(1 - a)^{2}}=a + 1 - a = 1$，是错误的，因为当$1 - a\gt0$时，$\sqrt{(1 - a)^{2}}=\vert1 - a\vert=1 - a$，而小亮在去绝对值时没有考虑$1 - a$的正负性，错误地将$\sqrt{(1 - a)^{2}}$化简为$1 - a$（这里应该是$\vert1 - a\vert$，再根据$1 - a$的正负去绝对值）。
小芳的解法：原式$=a+\sqrt{(1 - a)^{2}}=a+\vert1 - a\vert$，因为$1 - a = 2025\gt0$，所以$\vert1 - a\vert=1 - a$，则$a+\vert1 - a\vert=a+(1 - a)=1$（这里小芳计算错误，正确化简应该是$a+\vert1 - a\vert=a+(1 - a)=1$，而不是$a + a - 1$）。
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x\geq0)\\ -x(x\lt0)\end{cases}$。
2. 然后计算$a + 2\sqrt{a^{2}-6a + 9}$的值：
先对$\sqrt{a^{2}-6a + 9}$进行化简，$a^{2}-6a + 9=(a - 3)^{2}$，则$\sqrt{a^{2}-6a + 9}=\sqrt{(a - 3)^{2}}=\vert a - 3\vert$。
已知$a=-2023$，则$a - 3=-2023 - 3=-2026\lt0$。
根据$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x\geq0)\\ -x(x\lt0)\end{cases}$，可得$\vert a - 3\vert=-(a - 3)=3 - a$。
所以$a + 2\sqrt{a^{2}-6a + 9}=a + 2\vert a - 3\vert$，把$\vert a - 3\vert=3 - a$代入可得：
$a + 2(3 - a)=a+6 - 2a=6 - a$。
把$a=-2023$代入$6 - a$，得$6-(-2023)=6 + 2023=2029$。
【答案】：
(1)小亮；
(2)$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x\geq0)\\ -x(x\lt0)\end{cases}$；
(3)2029